Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Camille et Sacha souhaitent acheter une maison sur la route nationale, près de la ville de Sète (représentée par le point \text{S}). La maison \text{M} doit se situer entre \text{S} et \text{B}. Erin, leur fille, doit aller au collège en bus.
Pour modéliser la situation, le couple utilise un repère orthonormé d'origine \text{S} et d'unité 1 km. La route nationale représente l'axe des abscisses (orienté vers la droite) et la route vers le travail de Camille représente l'axe des ordonnées (orienté vers le haut). Enfin, l'abscisse de la maison est notée x.

Question préliminaire : Faire la modélisation en :
• utilisant le repère choisi par Camille et Sacha ;
• respectant les distances ;
• utilisant des segments pour modéliser les routes.

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Partie 1

On s'intéresse ici au trajet de Camille. On note \mathrm{T}_{\mathrm{c}}(x), la distance du trajet aller-retour que Camille devra effectuer entre sa maison et son travail.

1. Quel est l'ensemble de définition de \mathrm{T}_{\mathrm{c}} ?

2. Trouver l'expression de \mathrm{T}_{\mathrm{c}}(x) en fonction de x .

3. Camille roule à 80 km/h sur la route nationale et à 40 km/h sur la route noire qui mène à son travail. Déterminer, en fonction de x, le temps nécessaire en minutes pour effectuer l'aller-retour entre la maison et le lieu de travail.

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Partie 2

On s'intéresse ici au trajet de Sacha. On note \mathrm{T}_{\mathrm{s}}(x), la distance du trajet aller-retour que Sacha devra effectuer entre sa maison et son travail.

1. Quel est l'ensemble de définition de \mathrm{T}_{\mathrm{s}}?

2. Trouver l'expression de \mathrm{T}_{\mathrm{s}}(x) en fonction de x.

3. Sacha roule à 80 km/h sur la route nationale et à 40 km/h sur la route noire qui mène à son travail. Déterminer, en fonction de x, le temps nécessaire en minutes pour effectuer l'aller-retour entre la maison et le lieu de travail.

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Partie 3

On s'intéresse ici au trajet d'Erin pour se rendre au collège. On note \mathrm{T}_{\mathrm{E}}(x), la distance du trajet aller-retour qu'Erin devra effectuer entre sa maison et son collège.

1. Quel est l'ensemble de définition de \mathrm{T}_{\mathrm{E}} ?

2. Trouver l'expression de \mathrm{T}_{\mathrm{E}}(x) en fonction de x .

3. Le bus qu'elle utilise roule à 60 km/h sur la route nationale et à 30 km/h sur la route noire qui mène au collège. Déterminer, en fonction de x, le temps nécessaire en minutes pour effectuer l'aller-retour entre la maison et le collège.

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Mise en commun

Deux options sont possibles.

1. Sacha et Camille veulent parcourir la même distance aller-retour pour se rendre à leur travail.
a. Où doit se situer la maison dans ce cas-là ?

b. Combien de temps faudra-t-il à Erin pour se rendre au collège ?

2. Sacha et Camille veulent avoir le même temps de trajet aller-retour pour se rendre au travail.
a. Où doit se situer la maison dans ce cas-là ?

b. Combien de temps faudra-t-il à Erin pour se rendre au collège ?

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