Un home cinéma est composé de trois enceintes à l'avant et de deux à l'arrière. Un technicien règle séparément les enceintes pour recevoir 70 dB dans la zone d'écoute. Puis il met les cinq enceintes en marche simultanément.

1. Calculer l'intensité sonore dans la zone d'écoute lorsqu'une seule enceinte est en marche.

2. En déduire la puissance sonore P produite par une enceinte avant située à une distance d = 3{,}0 m de la zone d'écoute.

3. Calculer le niveau d'intensité sonore lorsque les cinq enceintes sont mises en marche en même temps.

4. Préciser si ce niveau d'intensité sonore présente un danger.

Schema de fonctionnement d'un home cinéma

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Données

Intensité sonore de référence : I_{0}=1 \times 10^{-12} W·m^-2

Expression de l'intensité sonore I à une distance d d'une source sonore de puissance P : I=\frac{P}{4 \pi \cdot d^{2}}

Niveau du seuil d'intensité sonore à risque : L_{\text {danger }}=85 dB

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Protocole de réponse

1. Exprimer l'intensité sonore I en fonction du niveau d'intensité sonore L en utilisant la formule du niveau d'intensité sonore.

2. Inverser la relation de la dilution sphérique.

3. Appliquer l'additivité des intensités, puis utiliser la formule du niveau sonore.

4. Comparer la valeur du niveau sonore au seuil de danger.

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Solution rédigée

1. On note I_{1} l'intensité sonore lorsqu'une seule enceinte est en marche et L_{1} le niveau d'intensité sonore correspondant :
L_{1}=10 \log \left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right)
I_{1}=I_{0} \cdot 10 \tfrac{L_{1}}{10}
AN : I_{1}=10^{-12} \times 10^{\tfrac{70}{10}}=10^{-5} W · m^-2

2. D'après la formule de la dilution sphérique donnée :
I_{1}=\frac{P}{4 \pi \cdot d^{2}}
P=4 \pi \cdot I_{1} \cdot d^{2}
AN : P=4 \times \pi \times 10^{-5} \times(3,0)^{2}=1,1 \times 10^{-3} W

3. En utilisant une notation similaire pour les cinq enceintes mises en marche simultanément :
L_{5}=10 \log \left(\frac{I_{5}}{I_{0}}\right)
L_{5}=10 \log \left(\frac{5 I_{1}}{I_{0}}\right)
L_{5}=10 \log (5)+10 \log \left(\frac{I_{1}}{I_{0}}\right)
L_{5}=10 \log (5)+L_{1}
AN : L_{5}=10 \times \log (5)+70=77 dB

4. L_\text{5} \lt 85 dB, donc ce niveau sonore ne présente pas de danger.

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Mise en application

Déterminer la puissance sonore P_\text{limite} à ne pas dépasser lorsque les cinq enceintes sont en fonctionnement.

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