Robin souhaite comprendre l'influence de la couleur d'une terrasse sur la température de l'air à sa surface. En été, lorsque les rayons du Soleil arrivent avec 70° d'inclinaison par rapport au sol, le flux thermique surfacique atteint \text{1 200} W·m^-2.
Le coefficient de convection par vent calme est défini avec h = 10 W·m^-2·K^-1. Le flux thermique surfacique produit par l'atmosphère est de 150 W·m^-2. L'équilibre thermique de l'air à la surface de la terrasse est très rapidement atteint et la température est égale à 30 °C.
On souhaite comparer deux couleurs de peinture modifiant la valeur de l'albédo \alpha. Une noire provoquant un albédo de 10 % et une seconde blanche avec un albédo de 90 %.

1. Faire un bilan d'énergie lorsque l'albédo de la terrasse vaut \text{0,10}.

2. Soit la fonction f telle que f(T)=\sigma \cdot T^{4}+h \cdot T. Tracer la courbe représentative de la fonction f et chercher la valeur de T pour laquelle f(T)=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}.

3. Faire de même pour un albédo de \text{0,90}. Conclure.

Expression de la loi de Stefan-Boltzmann :

\varphi=\sigma \cdot T^{4}
\varphi : flux thermique surfacique rayonné (W·m^-2)
\sigma : constante de Stefan-Boltzmann égale à
\sigma = 5{,}67 \times 10^{-8} W·m^-2·K^-4
T : température de surface (K)

1. La terrasse reçoit un flux thermique surfacique positif \alpha \cdot \varphi_{\mathrm{S}} provenant du Soleil. Un second flux positif \varphi_{\mathrm{atm}} est dû à l'émission par rayonnement de l'atmosphère. La terrasse libère un flux surfacique \varphi_{\text {terrasse }}=-\sigma \cdot T^{4} négatif par rayonnement et échange \varphi_{\text {air }}=h \cdot\left(T_{\text {air }}-T\right) par convection avec l'air.
À l'équilibre, l'équation est la suivante :
(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}+\varphi_{\mathrm{terrasse}}+\varphi_{\mathrm{air}}=0
(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}-\sigma \cdot T^{4}+h \cdot\left(T_{\mathrm{air}}-T\right)=0
\sigma \cdot T^{4}+h \cdot T=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}

2. On note \varphi le flux surfacique correspondant à :
\varphi=h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{s}}+\varphi_{\mathrm{atm}}
AN : \varphi=10 \times(30+273{,}15)+(1-0{,}1) \times 1200+150=4\ 300 W·m^-2
Le tracé de la courbe représentative à la calculatrice permet de constater que f(T)=4\ 300 W·m^-2 pour T = 351 K, soit 78 °C.

3. En modifiant la valeur de l'albédo et pour f(T)=h \cdot T_{\text {air }}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}=3\ 300 W·m^-1, la température T vaut \text{292} K, soit \text{19} °C.

1. Faire un schéma pour représenter les différents flux.
Vérifier le signe de chaque expression (positif si le flux rentre, négatif sinon).
Se souvenir de la définition de l'albédo \alpha, la part de rayonnement non absorbé par la terrasse. La part de rayonnement absorbé est donc 1 - \alpha.
Écrire l'équation f(T) sous forme numérique avec une seule variable T pour pouvoir l'écrire dans la calculatrice.

2. Recopier la fonction f(T) à la calculatrice et chercher pour quelle valeur de T la fonction f(T) vaut h \cdot T_{\mathrm{air}}+(1-\alpha) \cdot \varphi_{\mathrm{S}}+\varphi_{\mathrm{atm}}.

3. Si les deux premières questions ont été traitées correctement, il suffit de modifier les valeurs numériques correspondantes. Conclure en donnant du sens à ces valeurs.

Mise en application

Découvrez l'

exercice 33 p. 444

, pour travailler cette notion.

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