Enseignement scientifique Terminale - 2024
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Sciences, climat et société
Ch. 1
L’atmosphère terrestre et la vie
Ch. 2
La complexité du système climatique
Ch. 3
Le climat du futur
Se préparer à l'évaluation - Thème 1
Le futur des énergies
Ch. 4
Deux siècles d’énergie électrique
Ch. 5
Conversion et transport de l’énergie électrique
Ch. 6
Énergie, développement et futur climatique
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Ch. 7
La biodiversité et son évolution
Ch. 8
L’évolution comme grille de lecture du monde
Ch. 9
L’évolution humaine
Ch. 10
Les modèles démographiques
Ch. 11
De l’informatique à l’intelligence artificielle
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Améliorer ses compétences
Fiches histoire
Annexes
Ch. 11
Activité 6 - documentaire
Mathématiques et Covid-19
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Introduction
Durant l'épidémie de la Covid-19, la Haute Autorité de Santé, organisme de référence
pour les politiques de santé publique, évaluait à 92 % la sensibilité moyenne
(probabilité qu'un test soit positif si le patient est malade) des tests PCR (Polymerase
Chain Reaction) réalisés. La spécificité annoncée (probabilité que le résultat du test
soit négatif chez les patients non malades) de ces mêmes tests est de 96,4 %.
Problématique
Comment évaluer la probabilité d'être malade, notamment dans le cas des tests
de dépistage de la Covid-19 ?
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- Épidémies
- Probabilités conditionnelles
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Documents
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Doc. 1Thomas Bayes
Thomas Bayes, né au
début du XVIIIe siècle
et mort en 1761, est
un mathématicien britannique
qui s'est intéressé
au domaine des
probabilités. Dans son
ouvrage posthume An
Essay Towards solving a
Problem in the Doctrine of
Chances (1763), il a jeté
les premières bases de
son théorème éponyme.
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Doc. 2Inférence bayésienne
L'inférence bayésienne est une méthode de calcul permettant
d'estimer la probabilité qu'un évènement puisse se produire. Elle
se base sur l'observation d'autres évènements connus, notamment
lorsqu'ils sont dépendants les uns des autres.
Cette méthode permet de calculer une probabilité en intégrant les informations préexistantes ainsi que des données issues de nouvelles observations.
Cette méthode permet de calculer une probabilité en intégrant les informations préexistantes ainsi que des données issues de nouvelles observations.
p_{\mathrm{B}}(\mathrm{A})=\frac{p_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \cdot p(\mathrm{~A})}{p(\mathrm{~B})} \left\lvert\, \begin{aligned}
& \text {A et B : deux évènements } \\
& p(\mathrm{A}) \text { et } p(\mathrm{B}): \text {probabilités que les évènements A et B surviennent} \\
& p_{\mathrm{B}}(\mathrm{A}) \text { : probabilité que l'évènement
A se réalise si l'évènement B
est réalisé } \\
& p_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}) \text { : probabilité que l'évènement
B se réalise si l'évènement A
est réalisé.}
\end{aligned}\right.
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Doc. 3Exemple d'application de l'inférence bayésienne
dans le cas d'un diagnostic médical
L'inférence bayésienne peut être illustrée par les tests de
dépistage dans le milieu médical. Un patient réalise un test
de dépistage d'une maladie rare qui touche 1 % de la population
mondiale. Son test se révèle positif. Le laboratoire qui a
mis au point le test assure que celui-ci est positif dans 99,3 %
des cas lorsque le patient est malade et négatif dans 96,5 %
des cas si le patient n'est pas malade.
Le patient se demande donc légitimement s'il est malade, étant donné ces pourcentages. Si on ne peut pas répondre avec certitude à sa question, on peut néanmoins lui fournir la probabilité qu'il soit malade sachant que son test est positif. Ce problème peut être illustré par un tableau de contingence dans lequel on reporte dans un premier temps les informations que l'on connaît pour une population de 100 000 individus.
Le patient se demande donc légitimement s'il est malade, étant donné ces pourcentages. Si on ne peut pas répondre avec certitude à sa question, on peut néanmoins lui fournir la probabilité qu'il soit malade sachant que son test est positif. Ce problème peut être illustré par un tableau de contingence dans lequel on reporte dans un premier temps les informations que l'on connaît pour une population de 100 000 individus.
- 1 % de la population est malade, soit 1 000 malades et 99 000 non-malades ;
- 99,3 % des 1 000 malades ont un test positif, soit 993 personnes (vrais positifs) ;
- le reste, soit 0,7 % de ces malades, a un test négatif, soit 7 personnes (faux négatifs) ;
- 96,5 % des 99 000 non-malades ont un test négatif, soit 95 535 personnes ;
- 3,5 % des non-malades ont donc un test positif, soit 3 465 individus.
| Tests positifs | Tests négatifs | Total | |
|---|---|---|---|
Malades
| |||
Non-malades
| |||
Total
|
Tableau de contingence
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Doc. 4Nombre de tests à la Covid-19 réalisés en France
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Doc. 5Taux de prévalence du virus
La prévalence d'une maladie est
le pourcentage de personnes
malades à un instant donné dans
une population donnée. Le taux de
prévalence est calculé en divisant
le nombre de personnes malades par
l'effectif de la population exposée.
Le 1er février 2022, le taux de prévalence de la Covid-19 dans la population française était de 3 460 cas sur 100 000 habitants d'après les estimations de Santé publique France.
Le 1er février 2022, le taux de prévalence de la Covid-19 dans la population française était de 3 460 cas sur 100 000 habitants d'après les estimations de Santé publique France.
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Doc. 6Détection des problèmes de peau et IA
À l'aide d'une base de données d'entraînement
construite par des experts, une
intelligence artificielle peut apprendre
à identifier les mélanomes malins.
Plus le nombre de photographies de
mélanomes malins et bénins est important,
plus l'IA sera capable d'améliorer
sa capacité à diagnostiquer les malades
en améliorant la proportion de vrais
positifs et de vrais négatifs.
Dans le contexte médical, l'utilisation de l'intelligence artificielle offre donc un gain de temps pour traiter correctement les malades et potentiellement assurer une plus grande fiabilité des tests automatisés, avec une IA suffisamment bien entraînée.
Dans le contexte médical, l'utilisation de l'intelligence artificielle offre donc un gain de temps pour traiter correctement les malades et potentiellement assurer une plus grande fiabilité des tests automatisés, avec une IA suffisamment bien entraînée.
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Retrouvez une animation intéractive pour visualiser
ces notions.
GeoGebra
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Questions
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1. Doc. 2 et Doc. 3 En utilisant , reproduire et compléter le tableau de contingence en fonction des
informations fournies. Montrer que la probabilité qu'un patient soit malade si son test est positif est de 22 %.
2. Doc. 4 Évaluer le nombre de tests de dépistage de la Covid-19 réalisés en France le 1er février 2022.
3. Doc. 3 et Doc. 5 Dresser et remplir un tableau de contingence pour la fiabilité des tests effectués le 1er février 2022.
4. En déduire le nombre de tests de dépistage de la Covid-19 erronés (faux positifs et faux négatifs).
5. Doc. 6 Expliquer pourquoi l'utilisation de l'inférence bayésienne est nécessaire si un diagnostic médical doit être
réalisé par une intelligence artificielle, notamment dans le cas d'un examen de mélanome.
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Mélanome malin : tumeur cancéreuse au niveau de la peau.
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