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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 4
Cours 1
Fréquences marginales et fréquences conditionnelles
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A
Fréquences marginales
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Définition
Dans une série de données, on étudie deux variables \text{A} et \text{B}.
Les fréquences marginales de la variable \text{A} sont les fréquences totales de chaque valeur prise par \text{A} parmi l'ensemble de la population étudiée.
Les fréquences marginales de la variable \text{A} sont les fréquences totales de chaque valeur prise par \text{A} parmi l'ensemble de la population étudiée.
Remarque
Dans le calcul des fréquences marginales de la variable \text{A}, on ne porte aucune attention à la variable \text{B}.
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Exemple
Le tableau ci‑dessous synthétise la provenance de différents types de déchets selon le secteur d'activité en 2016.
"/// : absence de résultat due à la nature des choses.
Source : Insee.
Les fréquences marginales de chaque type de déchet s'obtiennent grâce aux valeurs de la ligne « Total » : la fréquence marginale des déchets minéraux non dangereux produits en 2016 est \frac{220,2}{322,7} \approx 0,68, soit environ 68 %.
| Déchets minéraux non dangereux | Déchets non minéraux non dangereux | Déchets dangereux | Total | |
|---|---|---|---|---|
| Agriculture et pêche | /// | 1,0 | 0,3 | 1,3 |
| Industrie | 4,2 | 17,6 | 2,8 | 24,6 |
| Construction | 209,2 | 12,4 | 2,8 | 224,4 |
| Tertiaire | 0,8 | 17,9 | 1,0 | 19,6 |
| Traitement des déchets, assainissement, dépollution | 3,2 | 17,2 | 3,4 | 23,7 |
| Ménages | 2,8 | 25,5 | 0,7 | 29,1 |
| Total | 220,2 | 91,4 | 11,0 | 322,7 |
"/// : absence de résultat due à la nature des choses.
Source : Insee.
Les fréquences marginales de chaque type de déchet s'obtiennent grâce aux valeurs de la ligne « Total » : la fréquence marginale des déchets minéraux non dangereux produits en 2016 est \frac{220,2}{322,7} \approx 0,68, soit environ 68 %.
Remarque
Les variables étudiées sont quantitatives ou qualitatives.
On parle de variables nominales (sexe, nationalité), ordinales (nombre de
personnes) ou définies par intervalles (temps d'attente, classes d'âge).
Remarque
La ligne ou la colonne « Total » donne les effectifs marginaux.
Remarque
Pour calculer la fréquence marginale des déchets minéraux non dangereux, on ne porte aucune importance à leur provenance (agriculture, industrie, etc.).
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Application et méthode - 1
Calculer des fréquences marginales
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On a relevé les températures quotidiennes moyennes dans un même lieu pendant deux mois. Les résultats, en nombre de jours, sont donnés dans le tableau ci‑dessous.
Déterminer les fréquences marginales associées à chaque intervalle de température.
| [-20 ; - 10[ | [-10 ; 0[ | [0 ; 5[ | [5 ; 20[ | [20 ; 40] | |
|---|---|---|---|---|---|
| Février | 2 | 9 | 13 | 4 | 0 |
| Mars | 1 | 7 | 11 | 9 | 3 |
Déterminer les fréquences marginales associées à chaque intervalle de température.
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Solution
On peut calculer le nombre total de jours sur ces deux mois : 28 en février et 31 en mars, soit 59 jours au total. On en déduit les fréquences marginales :
\frac{2+1}{59}, \frac{9+7}{59}, \frac{24}{59}, \frac{13}{59}, \frac{3}{59}, soit environ 5,1 %, 27,1 %, 40,7 %, 22,0 % et 5,1 %.
Pour s'entraîner : exercices et
\frac{2+1}{59}, \frac{9+7}{59}, \frac{24}{59}, \frac{13}{59}, \frac{3}{59}, soit environ 5,1 %, 27,1 %, 40,7 %, 22,0 % et 5,1 %.
Pour s'entraîner : exercices et
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- Calculer l'effectif total associé à chaque intervalle, puis l'effectif total de tous les intervalles.
- En déduire les fréquences associées en calculant le rapport \frac{\text{Effectif classe}}{\text{Effectif total}}.
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B
Fréquences conditionnelles
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Définition
- Dans une série de données, on étudie deux variables \text{A} et \text{B}. On commence par séparer des autres éléments les éléments qui ont une valeur de \text{B} choisie.
- Les fréquences conditionnelles de la variable \text{A} relativement à cette valeur de \text{B} sont les fréquences, parmi les éléments sélectionnés, de chaque valeur prise par \text{A}.
Remarque
La fréquence conditionnelle de \text{A} relativement à \text{B} se calcule en divisant par l'effectif total de \text{B}, tandis que la fréquence conditionnelle de \text{B} relativement à \text{A} se calcule en divisant par l'effectif total de \text{A}. Ces deux valeurs sont différentes en général.
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Exemple
Répartition des étudiants selon le secteur et la formation au cours de l'année 2016‑2017.
Source : MESRI-SIES.
On choisit d'isoler les étudiants inscrits dans l'enseignement privé. La fréquence conditionnelle des étudiants en CPGE parmi les étudiants inscrits dans l'enseignement privé est estimée à \frac{12}{475} \approx 0,025. Environ 2,5 % des étudiants du secteur privé étudient en CPGE.
| Effectifs (en millier) | Public | Privé | Total |
|---|---|---|---|
| Universités | 1 624 | - | 1 624 |
| STS et assimilés | 173 | 84 | 257 |
| CPGE | 74 | 12 | 86 |
| Autres | 264 | 379 | 643 |
| Total | 2 135 | 475 | 2 610 |
Source : MESRI-SIES.
On choisit d'isoler les étudiants inscrits dans l'enseignement privé. La fréquence conditionnelle des étudiants en CPGE parmi les étudiants inscrits dans l'enseignement privé est estimée à \frac{12}{475} \approx 0,025. Environ 2,5 % des étudiants du secteur privé étudient en CPGE.
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Application et méthode - 2
Compléter un tableau croisé en utilisant les fréquences conditionnelles
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Énoncé
Compléter le tableau ci‑dessous synthétisant les effectifs des étudiants,
en millier, à la rentrée 2016 en fonction de leur sexe et de la discipline étudiée.
Source : Insee.
| Femmes | Hommes | Total | dont femmes | |
|---|---|---|---|---|
| Droit, sciences politiques | 205,4 | 65,3 % | ||
| Arts, lettres | 93,9 | 69,6 % | ||
| Langues | 111,8 | 73,7 % | ||
| Sciences fondamentales | 244,1 | 25,6 % | ||
| STAPS | 55,1 | 29 % | ||
| Médecine | 144,4 | 62,4 % |
Source : Insee.
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Solution
| Femmes | Hommes | Total | dont femmes | |
|---|---|---|---|---|
| Droit, sciences politiques | 134,1 | 71,3 | 205,4 | 65,3 % |
| Arts, lettres | 65,4 | 28,5 | 93,9 | 69,6 % |
| Langues | 82,4 | 29,4 | 111,8 | 73,7 % |
| Sciences fondamentales | 62,5 | 181,6 | 244,1 | 25,6 % |
| STAPS | 16,0 | 39,1 | 55,1 | 29 % |
| Médecine | 90,1 | 54,3 | 144,4 | 62,4 % |
205,4 \times 0,653 \approx 134,1 \:; 205,4-134,1=71,3
Pour s'entraîner : exercices et
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Pour chaque discipline, la fréquence conditionnelle des femmes est égale au rapport du nombre de femmes par l'effectif total de la discipline.
Le nombre de femmes est donc : \mathrm{N}_{\text {Femmes }}=f \times \mathrm{N}_{\text {Total }} où f est la fréquence conditionnelle des femmes exprimée sous forme décimale.
On obtient le nombre d'hommes par soustraction.
Le nombre de femmes est donc : \mathrm{N}_{\text {Femmes }}=f \times \mathrm{N}_{\text {Total }} où f est la fréquence conditionnelle des femmes exprimée sous forme décimale.
On obtient le nombre d'hommes par soustraction.
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