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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 4
Avant de commencer
Fréquences et probabilités conditionnelles
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1. Calculer et interpréter des fréquences conditionnelles.
2. Calculer des effectifs à partir des fréquences conditionnelles.
3. Calculer et interpréter des fréquences marginales.
4. Comprendre et compléter un tableau croisé d'effectifs.
5. Calculer et interpréter des probabilités conditionnelles.
6. Utiliser la notation \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).
2. Calculer des effectifs à partir des fréquences conditionnelles.
3. Calculer et interpréter des fréquences marginales.
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5. Calculer et interpréter des probabilités conditionnelles.
6. Utiliser la notation \mathrm{P}_{\mathrm{A}}(\mathrm{B}).
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Les premiers recueils de données statistiques datent
de l'Antiquité : on a trouvé des traces de recensements
de populations en Chine au XXIIIe siècle av. J.‑C. et en
Égypte au XVIIe siècle av. J.‑C. Depuis le XVIe siècle, les données statistiques sont utilisées pour faire des prévisions
et des estimations : sur les jeux de hasard, sur l'évolution
des populations, en économie, etc.
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Rappels théoriques
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Calculer une proportion et l'exprimer sous forme décimale, fractionnaire, ou en pourcentage :
Définition
: Soit \text{E} un ensemble non vide et n_{\text{E}} le nombre d'éléments de \text{E}. Soit \text{A} une partie de \text{E} et n_\text{A} le nombre d'éléments de \text{A}. La proportion p de \text{A} dans \text{E} est définie par p = \dfrac{n_\text{A}}{n_\text{E}}. Elle s'exprime donc sous la forme d'une fraction, mais on peut aussi l'exprimer sous forme décimale ou en pourcentage.Méthode
: Pour passer d'une forme décimale ou fractionnaire à un pourcentage, on multiplie la proportion par 100.Exemple
: Dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles. La proportion de filles dans la classe est donc de p = \dfrac{18}{30} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6. Les filles représentent 0{,}6 \times 100 = 60 % de la classe.Ressource affichée de l'autre côté.
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Calculer un effectif d'après une proportion :
Propriété :
Si \text{E} est un ensemble à n_\text{E} éléments, \text{A} une partie de \text{E} à n_\text{A} éléments et p est la proportion de \text{A} dans \text{E}, alors n_\text{A} = p \times n_\text{E}.Exemple :
Un club de foot compte 84 licenciés dont \dfrac{5}{7} ont moins de 18 ans. Il y a donc 84 \times \dfrac{5}{7} = 60 licenciés de moins de 18 ans.Ressource affichée de l'autre côté.
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Calculer une proportion de proportion :
Propriété :
Soit \text{F} un ensemble non vide, \text{E} une partie non vide de \text{F} et \text{A} une partie de \text{E}. Si p_1 est la proportion de \text{A} dans \text{E} et p_2 est la proportion de \text{E} dans \text{F}, alors la proportion p de \text{A} dans \text{F} est p = p_1 \times p_2.Exemple :
Le Syndicat des Editeurs de Logiciels de Loisirs déclare que 53 % des Français jouent régulièrement aux jeux vidéos. Parmi eux, 47 % sont des femmes. En notant p la proportion de femmes jouant aux jeux vidéos parmi tous les Français, p = \dfrac{53}{100} \times \dfrac{47}{100} = 0{,}2491 = 24{,}91 %.Ressource affichée de l'autre côté.
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Lire un graphique :
Définition :
- Un diagramme en barres est un diagramme constitué de barres dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif représenté. Les effectifs correspondant à chaque valeur se lisent sur l'axe des ordonnées.
- Un diagramme circulaire est constitué de secteurs angulaires dont les mesures des angles sont proportionnelles à l'effectif des valeurs du caractère. L'effectif total correspond à un angle de 360°.
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Exemples :
Ci‑dessous, on a représenté le nombre de frères et sœurs des élèves d'une classe de 24. Le secteur correspondant à un frère ou sœur mesure 90°. Donc la proportion d'élèves ayant exactement un frère ou une sœur est de \dfrac{90}{360} = \dfrac{1}{4}. Il y a donc \dfrac{1}{4} \times 24 = 6 élèves avec exactement un frère ou une sœur.
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On a représenté ci‑dessous les pointures des élèves d'une classe. Par lecture graphique, 6 élèves chaussent du 39, alors qu'aucun ne chausse du 37.
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Déterminer la réunion ou l'intersection de deux ensembles
et le complémentaire d'un ensemble et utiliser les notations ensemblistes \cap, \cup et \subset :
Définitions :
Soient \text{A}, \text{B} et \text{E} des ensembles.1. La réunion des ensembles \text{A} et \text{B} est l'ensemble des éléments qui sont dans au moins l'un des deux ensembles. On le note \text{A} \cup \text{B}.
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2. L'intersection des ensembles \text{A} et \text{B}, notée \text{A} \cap \text{B}, est l'ensemble des éléments qui sont dans les deux ensembles à la fois.
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3. On dit que l'ensemble \text{A} est inclus dans l'ensemble \text{E} si tous les éléments de \text{A} sont des éléments de \text{E}. On note \text{A} \subset \text{E}.
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4. Si \text{A} \subset \text{E}, le complémentaire de \text{A} dans \text{E} est l'ensemble des éléments de \text{E} qui ne sont pas dans \text{A}. Il est noté \bar{\text{A}}.
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Exemples :
Soit \text{E} = \mathbb{N}, \text{A} = \left\{ 1\:; 2 \right\}, \text{B} = \left\{ 2\:; 3 \right\}. Alors :
1. \text{A} \cup \text{B} = \left\{ 1 \:; 2\:; 3 \right\} ;
2. \text{A} \cap \text{B} = \left\{ 2 \right\} ;
3. \text{A} \subset \text{E}, \text{B} \subset \text{E} ;
4. \bar{\text{A}} est l'ensemble des entiers naturels strictement plus grands que 2.
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Exercices
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1. Calculer une proportion et l'exprimer sous forme décimale, fractionnaire, ou en pourcentage.
2. Calculer un effectif d'après une proportion.
3. Calculer une proportion de proportion.
4. Lire un graphique.
5. Déterminer la réunion ou l'intersection de deux ensembles et le complémentaire d'un ensemble.
6. Utiliser les notations ensemblistes \cup, \cap, \subset.
2. Calculer un effectif d'après une proportion.
3. Calculer une proportion de proportion.
4. Lire un graphique.
5. Déterminer la réunion ou l'intersection de deux ensembles et le complémentaire d'un ensemble.
6. Utiliser les notations ensemblistes \cup, \cap, \subset.
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Exercice 1Relier les différentes écritures
Associer par paires les nombres égaux, écrits de manières différentes.
| Paire 1 | Paire 2 | Paire 3 | Paire 4 |
|---|---|---|---|
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Exercice 2Donner plusieurs écritures d'un nombre
Compléter le tableau suivant.
| Écriture décimale | Fraction irréductible | Pourcentage |
|---|---|---|
| 0{,}25 | ||
| 50\:\% | ||
| 80\:\% |
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Exercice 3Appliquer une proportion
Dans chaque cas, calculer la quantité demandée.
1. 10 % de 230.
2. La moitié de 45.
3. 50 % de 0,5.
4. Trois quarts de 0,12.
1. 10 % de 230.
2. La moitié de 45.
3. 50 % de 0,5.
4. Trois quarts de 0,12.
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Exercice 4Calculer une proportion
Dans chaque cas, calculer la proportion décrite,
arrondie au besoin à 0,1 %.
1. 2 filles parmi 50 candidats.
2. 48 élèves dont 3 redoublants.
3. 50 centimes de réduction sur 4 € d'achats.
4. 3 cm sur 2,4 m.
1. 2 filles parmi 50 candidats.
2. 48 élèves dont 3 redoublants.
3. 50 centimes de réduction sur 4 € d'achats.
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Exercice 5Calculer une proportion de proportion
15 % des élèves d'un lycée ont choisi une LV3 et, parmi eux, 80 % ont choisi LV3 italien.
Calculer la proportion d'élèves du lycée ayant choisi LV3 italien. Donner le résultat en pourcentage.
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Exercice 6Lire un diagramme en barres
D'après les données du graphique, déterminer la
proportion d'élèves âgés de 16 ans dans ce lycée.
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Exercice 7Réunions et intersections
1. On lance un dé à six faces numérotées de 1 à 6. On note \text{A} l'ensemble des résultats pairs et \text{B} l'ensemble des résultats multiples de 5.
Déterminer les ensembles \text{A} \cap \text{B} et \text{A} \cup \text{B}.
2. A‑t‑on \overline{\mathrm{A}} \subset \mathrm{B} ?
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Exercice 8Problème
Le diagramme ci‑dessous répertorie les principales origines des importations françaises en 2016, en milliard d'euros. Les importations d'origine allemande représentent 25 % des importations françaises.
Quel est le montant, en milliards d'euros, des importations françaises ?
Quel est le montant, en milliards d'euros, des importations françaises ?
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La plus vieille méthode d'analyse fréquentielle est attribuée à Al‑Kindi (IXe siècle), qui cherchait à décrypter des messages codés. En analysant les fréquences des lettres dans le message, on peut retrouver, sous certaines conditions, le message initial en comparant ces fréquences aux fréquences d'apparition des lettres dans la langue utilisée. Par exemple, dans un texte écrit en français, la lettre E représente environ 15 % des lettres utilisées. On peut donc imaginer que, dans le texte codé, la lettre correspondant à la lettre E apparaît dans environ 15 % du texte.
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