Variations instantanées

Soit \mathrm{A} \in \mathcal{C}_f. On appelle tangente à \mathcal{C}_f en \mathrm{A}, lorsqu'elle existe, la droite qui passe par \mathrm{A} et qui est la position limite des sécantes \mathrm{(AM)} lorsque le point \mathrm{M} devient aussi proche que l'on veut du point \mathrm{A}.

En conservant les notations précédentes, la tangente obtenue est une approximation de la courbe au voisinage du point \mathrm{A}. Si on zoome assez sur la courbe en \mathrm{A}, la tangente et la courbe sont confondues.

Le coefficient directeur de la tangente \mathrm{T} à \mathcal{C}_f en \mathrm{A} est appelé nombre dérivé de f en a. Il se note f^{\prime}(a).

Pour calculer le coefficient directeur d'une droite d, on utilise la méthode suivante.

1. On choisit deux points \mathrm{A}\left(x_{A} ; y_{A}\right) et \mathbf{B}\left(x_{\mathrm{B}} ; y_{\mathrm{B}}\right) appartenant à d. Il faut choisir des points \mathrm{A} et \mathrm{B} dont les coordonnées peuvent être lues ou calculées précisément.

2. On calcule le coefficient directeur de d à l'aide de la formule \frac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}.

f^{\prime}(a) peut s'interpréter comme étant le taux de variation instantanée de f en a. En particulier, on a vu dans

l'activité C

que le nombre dérivé f^{\prime}(a) correspond à la vitesse instantanée en km/h au temps a lorsque f(x) représente la distance parcourue en km au bout d'un temps x exprimé en heure.

Une voiture est arrêtée à un feu rouge. Lorsque le feu passe au vert, la voiture avance et accélère progressivement. Si la voiture parcourt 100 mètres en 20 secondes, sa vitesse moyenne est

V_{m}=\frac{d}{t}=\frac{100}{20}=5 \mathrm{~m} / \mathrm{s}

Notons V(t) la vitesse de la voiture à n'importe quel instant t entre 0 s et 20 s.

Notons V(8) donne la vitesse instantanée en m/s. Cette vitesse est indiquée par le compteur de la voiture, en km/h, au bout de 8 secondes.

V^{\prime}(8) donne la variation de la vitesse au bout de 8 secondes. C'est ce qu'on appelle l'accélération instantanée de la voiture. L'accélération représente donc le taux de variation instantanée de la vitesse.