Enseignement mathématique 1re
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Mes Pages
Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 5
Exercices d'entraînement
2. Nombre dérivé
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25
Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative d'une fonction \ell et trois de ses tangentes \mathrm{T}_1, \mathrm{T}_2 et \mathrm{T}_3 respectivement aux points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C}.
Déterminer graphiquement \ell^{\prime}(0), \ell^{\prime}(1) et \ell^{\prime}(-1,5).
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La courbe ci-dessous représente une fonction g définie sur [-2,5 ; 3,5].
Déterminer graphiquement en quelles valeurs le nombre dérivé de g est nul sur [-2,5 ; 3,5].
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Copie d'élève
Un enseignant donne l'énoncé suivant à ses
élèves.
Tracer la représentation graphique d'une fonction f pour laquelle f^{\prime}(0)=1.
Enzo propose la courbe suivante. Expliquer son erreur.
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Fil rouge
En formule 1, la recherche des meilleures performances impose aux écuries d'utiliser les technologies les plus précises possibles pour déterminer la position, la vitesse et l'accélération de leur voiture durant la course.
On a mesuré et représenté les grandeurs caractéristiques sur les cinq premières secondes de la course d'un pilote en ligne droite.
La fonction donnant la distance parcourue par le pilote en fonction du temps est notée f.
1. a. Déterminer f^{\prime}(2) à l'aide du premier graphique.
a. De la même manière, l'accélération représente une variation de la vitesse en fonction du temps. En quelle unité peut-on alors exprimer l'accélération ?
Remarque
Dans cette situation, il est courant de
compter l'accélération en g. Un g vaut 9,81 m/s2
et correspond à l'accélération de la pesanteur sur
Terre. Ainsi, lorsque l'on dit qu'un pilote subit une
accélération de 2\;g, cela signifie qu'il subit le double
de l'accélération de la pesanteur sur Terre.
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On a tracé ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie pour tout x \neq 0.
| a | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(a) | |||||
| f^{\prime}(a) |
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Exercice inversé
On considère une fonction g définie sur l'intervalle [-4 ; 4] dont on donne certains nombres dérivés dans le tableau de valeurs suivant.
| a | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| g^{\prime}(a) | 0 | 1 | 2 | 0,5 | 2 |
Tracer une courbe représentative possible pour la fonction g.
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31
1. Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=-2 x+7.
a. Tracer la courbe représentative de f dans un repère orthonormé.
GeoGebra
b. Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 3 ?
c. En déduire graphiquement la valeur de f^{\prime}(3).
d. Répondre aux questions b et c avec le point d'abscisse -4.
2. Si f est une fonction affine de la forme f(x)=m x+p et si a est un nombre réel, quelle est la valeur de f^{\prime}(a) ? Détailler le raisonnement.
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32
Une fonction f est telle que f^{\prime}(-1)=f^{\prime}(2). Que peut-on dire des tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisses respectives -1 et 2 ?
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SES
Une entreprise fabrique et commercialise des cahiers de 96 pages de dimensions 24 \times 32 cm.
On note x le nombre de cahiers produits et \mathrm{C}(x) le coût de production, en euro, de ces x cahiers.
Un audit de l'entreprise a permis d'estimer que \mathrm{C}(x)=3 \times 10^{-9} \times x^3-5,1 \times 10^{-5} \times x^2+2,1 x.
1. a. Calculer le coût de production de 10\:000 cahiers.
b. En déduire le coût moyen de production d'un seul cahier sur cette production de 10\:000 cahiers.
2. On appelle coût marginal de x cahiers produits la différence \mathrm{C}(x+1)-\mathrm{C}(x).
Parmi les choix suivants, quel est celui qui interprète le mieux le coût marginal ?
b. En déduire le coût moyen de production d'un seul cahier sur cette production de 10\:000 cahiers.
2. On appelle coût marginal de x cahiers produits la différence \mathrm{C}(x+1)-\mathrm{C}(x).
Parmi les choix suivants, quel est celui qui interprète le mieux le coût marginal ?
- Le coût de production de x cahiers.
- Le coût de production d'un cahier.
- La variation du coût de production induite par la production d'un cahier supplémentaire.
- Le bénéfice de l'entreprise.
3. Calculer et interpréter le coût marginal lorsque x = 10\:000.
4. a. Comparer le coût moyen de production obtenu à la question 1 et le coût marginal obtenu à la question 3 pour x = 10\:000.
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
4. a. Comparer le coût moyen de production obtenu à la question 1 et le coût marginal obtenu à la question 3 pour x = 10\:000.
b. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
Remarque
En économie, le coût marginal de x peut parfois être assimilé au nombre dérivé de \mathrm{C} en x.
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Défis !
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34
1. Un automobiliste peut-il être verbalisé pour excès de vitesse par un radar fixe alors qu'il ne l'a pas été par un radar-tronçon ?
2.
Inversement, un automobiliste peut-il avoir été verbalisé pour excès de vitesse par un radar-tronçon sans l'avoir été par un radar fixe ?
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35
Existe-t-il une courbe qui soit située au-dessus de toutes ses tangentes ? Si oui, tracer une telle courbe sans justifier l'affirmation.
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Tracer une courbe qui n'admet pas de tangente en au moins un de ses points.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
