Enseignement mathématique 1re
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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 5
Pour aller plus loin
Définition du nombre dérivé et équation de tangente
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Cette double-page permet d'approfondir les notions de ce chapitre et de travailler de façon différenciée avec les élèves de la classe, notamment avec les plus à l'aise en mathématiques ou bien avec celles et ceux qui souhaiteraient choisir l'option mathématiques complémentaires en terminale.
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Cours
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Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle \mathrm{I} et soit a un réel appartenant à \mathrm{I}.
On dit que f est dérivable en a lorsque la limite du taux d'accroissement \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, quand h prend des valeurs aussi proches que l'on veut de 0, est un nombre réel.
Ce réel, noté f^{\prime}(a), est appelé nombre dérivé de f en a.
On écrit alors f^{\prime}(a)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
On dit que f est dérivable en a lorsque la limite du taux d'accroissement \frac{f(a+h)-f(a)}{h}, quand h prend des valeurs aussi proches que l'on veut de 0, est un nombre réel.
Ce réel, noté f^{\prime}(a), est appelé nombre dérivé de f en a.
On écrit alors f^{\prime}(a)=\underset{h \rightarrow 0}{\lim} \ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
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Propriétés
Soit f une fonction définie et dérivable sur un intervalle \mathrm{I}. Alors, pour tout a \in \mathrm{I}, une équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est donnée par y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a).
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Exercices
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37
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=x^2.
1. Soit h un réel non nul. Exprimer \frac{f(1+h)-f(1)}{h} en fonction de h.
2. Montrer que f est dérivable en a = 1 et déterminer f^{\prime}(1).
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38
Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=x^3. On souhaite déterminer, pour tout a \in \mathbb{R}, la valeur de f^{\prime}(a).
Soit h un nombre réel non nul.
1. Montrer que, pour tous réels a et h :
(a+h)^3=a^3+3 a^2 h+3 a h^2+h^3.
2. Écrire le taux d'accroissement de la fonction f entre a et a + h. Simplifier l'expression obtenue au maximum.
3. En déduire que f^{\prime}(a)=3 a^2.
4. Quelle est la valeur de f^{\prime}(1) ? De f^{\prime}(3) ?
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40
Soit f une fonction dont on note \mathcal{C}_f la courbe représentative. Soit h un réel strictement positif. On considère les points \mathrm{A} d'abscisse a et \mathrm{B} d'abscisse a + h appartenant tous les deux à \mathcal{C}_f.
1. Donner l'ordonnée du point \mathrm{A} et du point \mathrm{B} en fonction de a et h.
2. Calculer et simplifier le coefficient directeur de la droite \mathrm{(AB)}. Quel nombre retrouve-t-on ?
3. a. Que peut-on dire des points \mathrm{A} et \mathrm{B} lorsque le nombre h devient aussi proche que l'on veut de 0 ?
b. Quelle propriété retrouve-t-on sur les tangentes et les sécantes ?
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39GeoGebra
Soit f la fonction définie sur [0 ;+\infty[\operatorname{par} f(x)=\sqrt{x}.
Soit h un réel strictement positif.
1. Montrer que \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{1}{\sqrt{h}}.
2. Que peut-on dire de ce quotient lorsque h devient aussi proche que l'on veut de 0 ?
3. a. La fonction f est-elle définie pour x = 0 ?
b. La fonction f est-elle dérivable en 0 ?
4. À l'aide de GeoGebra, tenter de tracer la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x = 0.
GeoGebra
Que remarque-t-on ? Justifier graphiquement que le nombre dérivé de f en 0 n'existe pas.
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41
Soit une fonction f définie sur \mathbb{R} dont on donne la courbe représentative \mathcal{C}_f ci-dessous.
Déterminer par lecture graphique l'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de f dessinée en orange au point d'abscisse 2.
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42
Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
Déterminer par lecture graphique l'équation réduite de la tangente à la courbe de f dessinée en bleu au point d'abscisse 2.
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43
Soit f une fonction définie sur \mathbb{R} dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.
1. Déterminer graphiquement l'équation réduite de la tangente à la courbe de f dessinée en orange au point d'abscisse 0.
2. Retrouver ce résultat en utilisant la propriété de la page précédente.
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44
L'objectif de cet exercice est de conjecturer une propriété portant sur les nombres dérivés des fonctions paires.
On a représenté ci-dessous la courbe représentative \mathcal{C}_f d'une fonction paire f définie sur \mathbb{R} ainsi que trois de ses tangentes.
On donne leurs équations : d_1: y=0,1 x+0,67 ; d_2: y=0,8 x+3,62 et d_3: y=-0,54 x+3,26
On a représenté ci-dessous la courbe représentative \mathcal{C}_f d'une fonction paire f définie sur \mathbb{R} ainsi que trois de ses tangentes.
On donne leurs équations : d_1: y=0,1 x+0,67 ; d_2: y=0,8 x+3,62 et d_3: y=-0,54 x+3,26
1. a. Comment observe-t-on graphiquement que fonction f est paire ?
b. Déterminer la valeur de chacun des nombres suivants : f^{\prime}(-6), f^{\prime}(-2) et f^{\prime}(1).
2. a. En justifiant à l'aide de propriétés graphiques, déterminer f^{\prime}(6), f^{\prime}(2) et f^{\prime}(-1).
b. Dans le cas général, quelle relation entre f^{\prime}(a) et f^{\prime}(-a) peut-on conjecturer pour tout réel a lorsque f est une fonction paire ?
b. Déterminer la valeur de chacun des nombres suivants : f^{\prime}(-6), f^{\prime}(-2) et f^{\prime}(1).
2. a. En justifiant à l'aide de propriétés graphiques, déterminer f^{\prime}(6), f^{\prime}(2) et f^{\prime}(-1).
b. Dans le cas général, quelle relation entre f^{\prime}(a) et f^{\prime}(-a) peut-on conjecturer pour tout réel a lorsque f est une fonction paire ?
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45
On souhaite déterminer dans cet exercice un résultat pour les fonctions impaires analogue à celui étudié à l'exercice 44 pour les fonctions paires.
On a représenté ci-dessous une fonction g impaire.
On a représenté ci-dessous une fonction g impaire.
1. Comment observe-t-on graphiquement que cette fonction est impaire ?
2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés suivants et les reporter dans le tableau.
3. Quel lien peut-on conjecturer entre g^{\prime}(a) et g^{\prime}(-a) lorsque g est une fonction impaire ?
2. Déterminer graphiquement les nombres dérivés suivants et les reporter dans le tableau.
| a | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| g^{\prime}(a) |
3. Quel lien peut-on conjecturer entre g^{\prime}(a) et g^{\prime}(-a) lorsque g est une fonction impaire ?
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