1. Tangente à une courbe en un point

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GeoGebra

Soit f la fonction définie sur \mathrm{R} par f(x)=x^2.

1. À l'aide du logiciel GeoGebra, tracer la courbe représentative \mathcal{C}_f de la fonction f.

2. Placer sur \mathcal{C}_f les points \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} et \mathrm{D} d'abscisses respectives -4 ; -1,5 ; 0 et 3.

3. En utilisant les outils de GeoGebra, tracer les tangentes à \mathcal{C}_f en ces points et donner leur coefficient directeur.

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On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f et trois de ses tangentes.

Retrouver, pour chacune de ces tangentes, les abscisses des points de la courbe auxquelles elles sont tracées.

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Tracer toutes les tangentes horizontales de la courbe.

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On considère la fonction g définie sur \mathrm{R} par g(x)=\frac{1}{2} x^3-\frac{3}{2} x^2+1. On donne ci-dessous sa courbe représentative C_g.

1. Tracer les tangentes à C_g suivantes.

a. Tangente au point \mathrm{A} d'abscisse 0, de coefficient directeur 0.

b. Tangente au point \mathrm{B} d'abscisse 1, de coefficient directeur -1,5.

c. Tangente au point \mathrm{C} d'abscisse -1, de coefficient directeur 4,5.

d. Tangente au point \mathrm{D} d'abscisse 3, de coefficient directeur 4,5.

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En chimie

L'eau oxygénée \mathrm{H}_2 \mathrm{O}_2 est utilisée de diverses manières : par les médecins comme antiseptique, par les coiffeurs pour décolorer les cheveux ou encore par l'industrie pour blanchir le papier par exemple.

L'eau oxygénée se décompose naturellement pour former de l'eau \mathrm{H}_2 \mathrm{O} et du dioxygène \mathrm{O}_2.

On réalise deux expériences : une première en plaçant de l'eau oxygénée seule dans un récipient fermé et une seconde expérience en ajoutant des ions ferriques \mathrm{Fe}^{3+} dans le récipient.

Pour chaque expérience, on représente la quantité de matière n de dioxygène qui s'est formée, en mol, en fonction du temps, en minute, sur du papier millimétré.

Les croix bleues correspondent à l'expérience en présence de fer tandis que les croix orange correspondent à l'expérience sans fer.



On admet que le coefficient directeur de la tangente en un instant donné permet de quantifier la vitesse de réaction en mol/min.

1. Quelle réaction atteint 0,3 mol de dioxygène en premier ?

2. En chimie, un catalyseur est une espèce chimique qui n'est pas consommée au cours de la réaction mais qui joue le rôle d'accélérateur. Quelle espèce chimique est le catalyseur dans cet exercice ?

3. a. Déterminer graphiquement la vitesse des deux réactions au temps t = 5 min et au temps t = 40 min.

b. Comparer les vitesses de réaction obtenues en t = 5 min pour chacune des réactions. Est-ce cohérent avec la question 2. ?

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Une portion d'une piste pour quads est modélisée dans le repère orthogonal par la courbe ci-dessous.

Une jeune conductrice, téméraire et imprudente, est sortie de la piste et a continué sur sa lancée en suivant une trajectoire rectiligne définie par la tangente à la courbe et a heurté, sans se blesser, le poteau situé aux coordonnées (10 ; 15).

Déterminer graphiquement et approximativement en quel point la conductrice a quitté la piste.

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Fil rouge

L'équipe d'un pilote de formule 1 mesure qu'il passe de 0 km/h à 100 km/h en un peu plus de 3 secondes. Pour dimensionner les équipements de protection, les ingénieurs ont synthétisé les vitesses atteintes par le pilote sur cette phase d'accélération.

On admet que le coefficient directeur de la tangente à cette courbe au point d'abscisse t permet d'estimer l'accélération du pilote à l'instant t.

Déterminer, de manière approximative, deux instants auxquels le pilote accélère de la même manière.