Méthodes et automatismes

On considère la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=\frac{1}{4} x^2 dont on donne la courbe représentative \mathcal{C}_f ci-dessous.



Tracer la tangente à \mathcal{C}_f au point \mathrm{A} d'abscisse -2 sachant que son coefficient directeur vaut -1.

• On calcule l'ordonnée du point \mathrm{A} pour le placer correctement.


• En partant de \mathrm{A}, on se décale d'une unité en suivant l'axe des abscisses puis du coefficient directeur -1 en suivant l'axe des ordonnées. Le point d'arrivée est noté \mathrm{B}.


• On trace la droite (\mathrm{AB}) qui est la tangente à \mathcal{C}_f en \mathrm{A}.

Le point \mathrm{A} d'abscisse -2 appartient à \mathcal{C}_f donc son ordonnée est f(-2)=\frac{1}{4} \times(-2)^2=1.

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À l'oral

Soit d une droite et \mathrm{M} un point de d.

Que peut-on dire de la tangente à d au point \mathrm{M} ?

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À l'oral

Soit \mathcal{C} une courbe et \mathrm{A} un point de \mathcal{C}. On note \mathrm{T} la tangente à \mathcal{C} en \mathrm{A}.

Vrai ou faux : l'ordonnée du point \mathrm{A} est le coefficient directeur de \mathrm{T} ? Justifier.

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Tracer approximativement les tangentes à cette courbe aux points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{C}.

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Soit f la fonction inverse définie pour tout réel x \neq 0 et f(x)=\frac{1}{x}.

1. Tracer la courbe représentative de f sur l'intervalle [0{,}5 \:; 5].

2. Tracer la tangente au point d'abscisse 2 sachant que le coefficient directeur est -0,25.

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Soit f la fonction carré définie pour tout réel x. Les coefficients directeurs des tangentes à la courbe représentative de f aux points d'abscisse -2 ; -1,5 ; -1 ; 0 ; 1 et 2 valent respectivement -4 ; -3 ; -2 ; 0 ; 2 et 4.

Tracer la représentation graphique de f en prenant en compte ces informations.

Soit g la fonction définie, pour tout réel x, par g(x)=x^3+1,5 x^2-9 x+4. On note \mathcal{C_g} sa représentation graphique. Soit \mathrm{D}(-2 \:; 20) \in \mathcal{C_g} et \mathrm{T} la tangente à \mathcal{C_g} au point \mathrm{D}. On admet que \mathrm{T} passe par \mathrm{E}(2 \:; 8). Déterminer g^{\prime}(-2).

• Il faut se rappeler qu'un nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente au point considéré.


• On utilise la formule \frac{y_{\mathrm{E}}-y_{\mathrm{D}}}{x_{\mathrm{E}}-x_{\mathrm{D}}} pour calculer le coefficient directeur de la droite \mathrm{(DE)}.


• Le nombre obtenu correspond au nombre dérivé de g en -2.

g^{\prime}(-2) est le nombre dérivé de la fonction g en -2, donc g^{\prime}(-2) est le coefficient directeur de la tangente à \mathcal{C_g} au point d'abscisse -2.

Ainsi, g^{\prime}(-2)=\frac{8-20}{2-(-2)}=\frac{-12}{4}=-3 donc le nombre dérivé de g au point \mathrm{D} d'abscisse -2 est g^{\prime}(-2)=-3.

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À l'oral

Si la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point d'abscisse a, quelle est la valeur de f^{\prime}(a) ? Justifier.

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On a tracé ci-dessous la représentation graphique d'une fonction f et sa tangente au point \mathrm{A} d'abscisse -1.



1. En utilisant les coordonnées de deux points, déterminer le coefficient directeur de cette tangente.

2. Quel nombre dérivé peut-on en déduire ?

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La courbe \mathcal{C}_f ci-dessous représente une fonction f définie sur \mathbb{R}. Les droites tracées sont les tangentes à \mathcal{C}_f en \mathrm{A}, en \mathrm{B} et en \mathrm{C}. Déterminer graphiquement les valeurs de f^{\prime}(0), f^{\prime}(2) et f^{\prime}(3).

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Tracer une courbe représentative d'une fonction f définie sur \mathbb{R} telle que f(2)=-1 \text { et } f^{\prime}(2)=3.