Complément sur la dérivation

La fonction inverse définie sur \mathbb{R}^* par f(x)=\frac{1}{x} est dérivable sur tout intervalle de \mathbb{R}^* et sa fonction dérivée est définie, pour tout x \neq 0, par f^{\prime}(x)=\frac{-1}{x^2}.

Pour déterminer la fonction dérivée de la fonction g définie sur ] 0 ;+\infty[ par g(x)=\frac{4 x^2-7}{x}, on écrit, pour x>0, g(x)=\frac{4 x^2}{x}-7 \times \frac{1}{x}=4 x-7 \times \frac{1}{x}. Ainsi, pour tout x>0, g^{\prime}(x)=4-7 \times \frac{-1}{x^2}=4+\frac{7}{x^2}.

Dérivée d'un produit de fonctions
Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \mathrm{I}. Alors u \times v est dérivable sur \mathrm{I} et :

(u \times v)^{\prime}=u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime}.

59

Déterminer les expressions des fonctions dérivées des fonctions suivantes définies pour x > 0.

1. f(x)=2 x^2-9 x+\frac{1}{x}

2. g(x)=x^3-10+\frac{3}{x}

3. h(x)=\frac{8 x^2+5 x-1}{x}

4. k(x)=\frac{-5 x^3+3 x^2+4}{x}

60

Déterminer les expressions des fonctions dérivées des fonctions f, g, h et k suivantes définies pour tout réel x différent de 0.

1. f(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{2}{x}

2. g(x)=\frac{4 x^3-0,8 x^2-x+9}{x}

3. h(x)=\frac{1}{2 x}

4. k(x)=\frac{-1}{3 x}

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En utilisant sa fonction dérivée, démontrer que la fonction inverse est décroissante sur ]-\infty ; 0[ et sur ] 0 ;+\infty[.

62

Construire le tableau de variations de la fonction f définie sur ]-2\:; 0[ par f(x)=x^2-\frac{2}{x}.

63

Sur le graphique ci-dessous, identifier les courbes représentatives de f : x \mapsto \frac{1}{5 x} et de sa fonction dérivée. Justifier.

64

La consommation en litre pour 100 km d'un véhicule est donnée, en fonction de sa vitesse x, en km/h, pour 20 \leqslant x \leqslant 100 par :

f(x)=\frac{0,5 x^2-36 x+800}{x}.

1. Exprimer f^{\prime}(x) en fonction de x \in[20 ; 100].

2. En déduire le signe de f^{\prime}(x) sur son ensemble de définition, puis les variations de f sur [20 ; 100].

3. Pour quelle vitesse du véhicule la consommation est-elle minimale ? Calculer cette consommation.

65

La vitesse d'une onde sonore en eau profonde est modélisée, en fonction de sa longueur d'onde x comprise entre 0,5 m et 50 m, par :

v(x)=1\;000 \sqrt{x+\frac{1}{x}}.

Afin de déterminer pour quelle longueur d'onde cette vitesse est minimale, on cherche le minimum sur l'intervalle [0,5 ; 50] de la fonction f=v^2, définie par f(x)=1\;000\;000 \times\left(x+\frac{1}{x}\right).



1. Exprimer f^{\prime}(x) en fonction de x.

2. Dresser le tableau de signes de f^{\prime}, puis le tableau de variations de f sur [0,5 ; 50].

3. En déduire la vitesse minimale d'une onde sonore dans l'eau.

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Une agricultrice produit du lait. Elle estime que le coût de production en euro est donné, en fonction du volume produit en mètre cube, par :

C(x)=3 x^3-2,5 x^2+300 x+200.

On définit le coût moyen pour tout x > 0 par :

\mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x)=\frac{\mathrm{C}(x)}{x}.

1. Donner l'expression de \mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x) en fonction de x , puis celle de sa dérivée.

2. À l'aide d'une table de valeurs de \mathrm{C}_M^{\prime}(x), créée à l'aide d'un tableur par exemple, construire le tableau de signes de \mathrm{C}_M^{\prime}(x), le tableau de variations de \mathrm{C_M} et déterminer le volume de lait, arrondi au mètre cube, pour lequel le coût moyen est minimal.

3. Déterminer le coût moyen minimal.

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Un producteur de safran estime que le coût de production de x kg de safran est donné, en euro, par C(x)=x^3-18 x^2+124 x+200.

Le coût moyen par kg de safran, exprimé en euro, sur une production de x kg est défini pour tout x>0 par \mathrm{C}_{\mathrm{M}}(x)=\frac{\mathrm{C}(x)}{x}.

1. Donner l'expression du coût moyen en fonction de x.

2. Montrer que, pour tout x > 0 :

\mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x)=\frac{2(x-10)\left(x^2+x+10\right)}{x^2}.

Aide

On pourra commencer par montrer que, pour tout x>0, \mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x)=\frac{2 x^3-18 x^2-200}{x^2}.

3. En déduire le tableau de signes de \mathrm{C}_{\mathrm{M}}^{\prime}(x), puis le coût moyen minimal. Pour quelle masse produite est-il atteint ?

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Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=\left(x^2+4 x-5\right)(7 x+2).

1. Développer f(x) et en déduire f^{\prime}(x) pour tout réel x.

2. Retrouver ce résultat en utilisant la propriété de dérivation d'un produit de fonctions.

69

Soit g la fonction définie, pour tout réel x, par g(x)=\left(-2 x^3-3 x+1\right)(7 x+2).

1. Développer g(x). Peut‐on en déduire g^{\prime}(x) ?

2. Déterminer, pour tout réel x, une expression de g^{\prime}(x) en utilisant la propriété de dérivation d'un produit de fonctions.