Enseignement mathématique 1re
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Ch. 2
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Ch. 3
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Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
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Chapitre 6
Cours
Variations globales
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1Fonction dérivée
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Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle \mathrm{I}. On dit que f est dérivable sur \mathrm{I} lorsque, pour tout x \in \mathrm{I}, le
nombre dérivée de f en x existe. Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de \mathbb{f} la fonction notée f' qui, à
chaque nombre x de l'intervalle \mathrm{I}, associe le nombre dérivé f^{\prime}(x).
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La fonction dérivée de f se note f' ou bien \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}. Cette notation, due au mathématicien Leibniz, met en
évidence la construction de la fonction dérivée de f à partir des taux d'accroissement en chaque point : \mathrm{d} f(x) désigne la
petite variation des ordonnées créée par une petite variation des abscisses \mathrm{d}x.
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Exemple
La courbe verte représente une fonction f.
Pour construire la courbe représentant
f' (en bleu), on trace en chaque point
d'abscisse x la tangente à la courbe
représentative de f et on détermine son
coefficient directeur.
Par exemple, en x = 2, la tangente à \mathcal{C}_f a pour coefficient directeur 0,2 donc f^{\prime}(2)=0,2.
Par exemple, en x = 2, la tangente à \mathcal{C}_f a pour coefficient directeur 0,2 donc f^{\prime}(2)=0,2.
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2
Dérivées des fonctions de référence
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Propriétés
Toute fonction polynomiale admet une fonction dérivée définie sur \mathbb{R}. En particulier, les fonctions affines,
carré et cube admettent les fonctions dérivées suivantes.
| Fonction | Constante : f(x)=p | Identité : f(x)=x | Carré : f(x)=x^2 | Cube : f(x)=x^3 |
|---|---|---|---|---|
| Fonction dérivée | f^{\prime}(x)=0 | f^{\prime}(x)=1 | f^{\prime}(x)=2 x | f(x)=3 x^2 |
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Propriétés
Soit f et g deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle \mathrm{I}.
1. La somme f+g est dérivable sur \mathrm{I} et (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}.
2. Pour tout k \in \mathbb{R}, la fonction k \times f est dérivable sur \mathrm{I} et (k \times f)^{\prime}=k \times f^{\prime}.
1. La somme f+g est dérivable sur \mathrm{I} et (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}.
2. Pour tout k \in \mathbb{R}, la fonction k \times f est dérivable sur \mathrm{I} et (k \times f)^{\prime}=k \times f^{\prime}.
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Si f est une fonction affine définie pour tout x \in \mathbb{R} par f(x)=m x+p, alors f^{\prime}(x)=m \times 1+0=m.
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Exemple
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=5 {\color{#117ac0}x^3}+4 {\color{#cd4538}x^2}+3 {\color{#ba3b67}x}+2.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=5 \times {\color{#117ac0}3 x^2}+4 \times {\color{#cd4538}2 x}+3 {\color{#ba3b67}\times 1}+0=15 x^2+8 x+3.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=5 \times {\color{#117ac0}3 x^2}+4 \times {\color{#cd4538}2 x}+3 {\color{#ba3b67}\times 1}+0=15 x^2+8 x+3.
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3
Étude des variations d'une fonction
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Propriétés
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathrm{I}. Soit \mathrm{J} un intervalle inclus dans \mathrm{I}.
1. f est croissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est positive sur \mathrm{J}.
2. f est décroissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est négative sur \mathrm{J}.
3. f est constante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est nulle sur \mathrm{J}.
1. f est croissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est positive sur \mathrm{J}.
2. f est décroissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est négative sur \mathrm{J}.
3. f est constante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est nulle sur \mathrm{J}.
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En étudiant les variations d'une fonction, on peut en déduire l'existence éventuelle de maximum ou de minimum.
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Exemple
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f(x)=-4 {\color{#007db6}x^2}+5 {\color{#00614e}x}-{\color{#c58200}2}. On souhaite déterminer les variations de la
fonction f sur \mathbb{R} et déterminer ses éventuels extremums.
Pour cela, on détermine la fonction dérivée de f.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-4 \times {\color{#007db6}2 x}+5 \times {\color{#00614e}1}-{\color{#c58200}0}=-8 x+5.
La fonction f' est une fonction affine dont le coefficient directeur, égal à -8, est négatif. Elle est donc décroissante. On détermine la valeur de x pour laquelle elle s'annule :
Ainsi, sur l'intervalle \rbrack-\infty ; \frac{5}{8}\rbrack, f' est positive donc f est croissante et, sur l'intervalle \lbrack\frac{5}{8} ;+\infty\lbrack, f' est négative donc f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
f admet donc un maximum atteint en x=\frac{5}{8}.
Ce maximum vaut f\left(\frac{5}{8}\right)=-4 \times\left(\frac{5}{8}\right)^2+5 \times \frac{5}{8}-2=-\frac{25}{16}+\frac{25}{8}-2=-\frac{7}{16}.
On remarque que le maximum de f est un nombre négatif. On peut en déduire que la fonction f est toujours négative.
Pour cela, on détermine la fonction dérivée de f.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-4 \times {\color{#007db6}2 x}+5 \times {\color{#00614e}1}-{\color{#c58200}0}=-8 x+5.
La fonction f' est une fonction affine dont le coefficient directeur, égal à -8, est négatif. Elle est donc décroissante. On détermine la valeur de x pour laquelle elle s'annule :
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow-8 x+5=0 \Leftrightarrow x=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}
On en déduit alors le tableau de signes suivant.Ainsi, sur l'intervalle \rbrack-\infty ; \frac{5}{8}\rbrack, f' est positive donc f est croissante et, sur l'intervalle \lbrack\frac{5}{8} ;+\infty\lbrack, f' est négative donc f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
f admet donc un maximum atteint en x=\frac{5}{8}.
Ce maximum vaut f\left(\frac{5}{8}\right)=-4 \times\left(\frac{5}{8}\right)^2+5 \times \frac{5}{8}-2=-\frac{25}{16}+\frac{25}{8}-2=-\frac{7}{16}.
On remarque que le maximum de f est un nombre négatif. On peut en déduire que la fonction f est toujours négative.
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