Rejoignez la communauté !
Co-construisez les ressources dont vous avez besoin et partagez votre expertise pédagogique.
Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 6
Cours
Variations globales
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
1Fonction dérivée
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Définitions
Soit f une fonction définie sur un intervalle \mathrm{I}. On dit que f est dérivable sur \mathrm{I} lorsque, pour tout x \in \mathrm{I}, le
nombre dérivée de f en x existe. Dans ce cas, on appelle fonction dérivée de \mathbb{f} la fonction notée f' qui, à
chaque nombre x de l'intervalle \mathrm{I}, associe le nombre dérivé f^{\prime}(x).
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
La fonction dérivée de f se note f' ou bien \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{~d} x}. Cette notation, due au mathématicien Leibniz, met en
évidence la construction de la fonction dérivée de f à partir des taux d'accroissement en chaque point : \mathrm{d} f(x) désigne la
petite variation des ordonnées créée par une petite variation des abscisses \mathrm{d}x.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
La courbe verte représente une fonction f.
Pour construire la courbe représentant
f' (en bleu), on trace en chaque point
d'abscisse x la tangente à la courbe
représentative de f et on détermine son
coefficient directeur.
Par exemple, en x = 2, la tangente à \mathcal{C}_f a pour coefficient directeur 0,2 donc f^{\prime}(2)=0,2.
Par exemple, en x = 2, la tangente à \mathcal{C}_f a pour coefficient directeur 0,2 donc f^{\prime}(2)=0,2.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
2
Dérivées des fonctions de référence
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Toute fonction polynomiale admet une fonction dérivée définie sur \mathbb{R}. En particulier, les fonctions affines,
carré et cube admettent les fonctions dérivées suivantes.
| Fonction | Constante : f(x)=p | Identité : f(x)=x | Carré : f(x)=x^2 | Cube : f(x)=x^3 |
|---|---|---|---|---|
| Fonction dérivée | f^{\prime}(x)=0 | f^{\prime}(x)=1 | f^{\prime}(x)=2 x | f(x)=3 x^2 |
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Soit f et g deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle \mathrm{I}.
1. La somme f+g est dérivable sur \mathrm{I} et (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}.
2. Pour tout k \in \mathbb{R}, la fonction k \times f est dérivable sur \mathrm{I} et (k \times f)^{\prime}=k \times f^{\prime}.
1. La somme f+g est dérivable sur \mathrm{I} et (f+g)^{\prime}=f^{\prime}+g^{\prime}.
2. Pour tout k \in \mathbb{R}, la fonction k \times f est dérivable sur \mathrm{I} et (k \times f)^{\prime}=k \times f^{\prime}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Si f est une fonction affine définie pour tout x \in \mathbb{R} par f(x)=m x+p, alors f^{\prime}(x)=m \times 1+0=m.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=5 {\color{#117ac0}x^3}+4 {\color{#cd4538}x^2}+3 {\color{#ba3b67}x}+2.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=5 \times {\color{#117ac0}3 x^2}+4 \times {\color{#cd4538}2 x}+3 {\color{#ba3b67}\times 1}+0=15 x^2+8 x+3.
f est dérivable sur \mathbb{R} et, pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=5 \times {\color{#117ac0}3 x^2}+4 \times {\color{#cd4538}2 x}+3 {\color{#ba3b67}\times 1}+0=15 x^2+8 x+3.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
3
Étude des variations d'une fonction
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \mathrm{I}. Soit \mathrm{J} un intervalle inclus dans \mathrm{I}.
1. f est croissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est positive sur \mathrm{J}.
2. f est décroissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est négative sur \mathrm{J}.
3. f est constante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est nulle sur \mathrm{J}.
1. f est croissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est positive sur \mathrm{J}.
2. f est décroissante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est négative sur \mathrm{J}.
3. f est constante sur \mathrm{J} si, et seulement si, f' est nulle sur \mathrm{J}.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
En étudiant les variations d'une fonction, on peut en déduire l'existence éventuelle de maximum ou de minimum.
Ressource affichée de l'autre côté.
Faites défiler pour voir la suite.
Faites défiler pour voir la suite.
Exemple
On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par
f(x)=-4 {\color{#007db6}x^2}+5 {\color{#00614e}x}-{\color{#c58200}2}. On souhaite déterminer les variations de la
fonction f sur \mathbb{R} et déterminer ses éventuels extremums.
Pour cela, on détermine la fonction dérivée de f.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-4 \times {\color{#007db6}2 x}+5 \times {\color{#00614e}1}-{\color{#c58200}0}=-8 x+5.
La fonction f' est une fonction affine dont le coefficient directeur, égal à -8, est négatif. Elle est donc décroissante. On détermine la valeur de x pour laquelle elle s'annule :
Ainsi, sur l'intervalle \rbrack-\infty ; \frac{5}{8}\rbrack, f' est positive donc f est croissante et, sur l'intervalle \lbrack\frac{5}{8} ;+\infty\lbrack, f' est négative donc f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
f admet donc un maximum atteint en x=\frac{5}{8}.
Ce maximum vaut f\left(\frac{5}{8}\right)=-4 \times\left(\frac{5}{8}\right)^2+5 \times \frac{5}{8}-2=-\frac{25}{16}+\frac{25}{8}-2=-\frac{7}{16}.
On remarque que le maximum de f est un nombre négatif. On peut en déduire que la fonction f est toujours négative.
Pour cela, on détermine la fonction dérivée de f.
Pour tout x \in \mathbb{R}, f^{\prime}(x)=-4 \times {\color{#007db6}2 x}+5 \times {\color{#00614e}1}-{\color{#c58200}0}=-8 x+5.
La fonction f' est une fonction affine dont le coefficient directeur, égal à -8, est négatif. Elle est donc décroissante. On détermine la valeur de x pour laquelle elle s'annule :
f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow-8 x+5=0 \Leftrightarrow x=\frac{-5}{-8}=\frac{5}{8}
On en déduit alors le tableau de signes suivant.Le zoom est accessible dans la version Premium.
Ainsi, sur l'intervalle \rbrack-\infty ; \frac{5}{8}\rbrack, f' est positive donc f est croissante et, sur l'intervalle \lbrack\frac{5}{8} ;+\infty\lbrack, f' est négative donc f est décroissante. On résume cela dans un tableau de variations.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
f admet donc un maximum atteint en x=\frac{5}{8}.
Ce maximum vaut f\left(\frac{5}{8}\right)=-4 \times\left(\frac{5}{8}\right)^2+5 \times \frac{5}{8}-2=-\frac{25}{16}+\frac{25}{8}-2=-\frac{7}{16}.
On remarque que le maximum de f est un nombre négatif. On peut en déduire que la fonction f est toujours négative.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah