3. Étude des variations d'une fonction

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Suite à une épidémie dans une région, le nombre de personnes malades t jours après l'apparition des premiers cas est modélisé par f(t)=45 t^2-t^3+100, pour tout t appartenant à [0 ; 45].

1. Déterminer le nombre de personnes malades prévu par ce modèle au bout de 10 jours.

2. Montrer que, pour tout t appartenant à [0 ; 45] :

f^{\prime}(t)=3 t(30-t)

3. Déterminer le signe de f^{\prime}(t) sur [0 ; 45] et en déduire les variations de f.

4. Déterminer le jour où le nombre de personnes malades est maximal durant cette période de 45 jours et préciser le nombre de personnes alors malades.

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Environnement

Lors du transport de l'énergie électrique entre le lieu de production et le lieu de consommation, une partie de cette énergie est dissipée sous forme de chaleur : c'est l'effet Joule. Ces pertes s'élèvent en France à 2,5 % de la production annuelle et sont atténuées en utilisant des lignes à haute tension qui permettent de réduire l'intensité.

Dans cet exercice, on étudie un réseau électrique simplifié où la puissance totale dissipée est donnée, en mégawatt (MW), par \mathrm{P}(x)=2,4 x^2-x+0,6 avec x l'intensité en sortie d'une source, exprimée en kiloampère (kA).



1. Déterminer l'expression de \mathrm{P}^{\prime}(x) en fonction de x.

2. En déduire le tableau de signes de \mathrm{P^{\prime}}, puis les variations de \mathrm{P} sur l'intervalle [0 ; 1].

3. Pour quelle intensité la puissance dissipée par effet Joule est-elle minimale ? Que vaut alors cette puissance minimale ?

4. L'énergie dissipée est calculée en multipliant la puissance dissipée, en watt, par le temps, en heure. Calculer l'énergie minimale dissipée en une journée.

Apprenez-en plus sur l'effet Joule

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