Soit f la fonction définie, pour tout réel x, par f(x)=-2 x^3+0,5 x^2+0,2 x-1.
Donner, pour tout réel x, l'expression de f'(x).

Pour tout réel x,
f(x)=-2 \times {\color{#007db6}x^3}+0,5 \times {\color{#cc1f59}x^2}+0,2 \times {\color{#5438e0}x}-{\color{#00614e}1} donc f^{\prime}(x)=-2 \times {\color{#007db6}3 x^2}+0,5 \times {\color{#cc1f59}2 x}+0,2 \times {\color{#5438e0}1}-{\color{#00614e}0}.

En simplifiant, on obtient, pour tout réel x, f^{\prime}(x)=-6 x^2+x+0,2.

• Dans l'expression de f , on fait apparaître les fonctions de référence {\color{#007db6}x^3}, {\color{#cc1f59}x^2} et {\color{#5438e0}x}, ainsi que les nombres par lesquels elles sont multipliées.


• Pour déterminer l'expression de f', on calcule les dérivées respectives pour faire apparaître les expressions {\color{#007db6}3x^2}, {\color{#cc1f59}2x} et {\color{#5438e0}1}.


• On simplifie l'expression.

4

À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction identité. En déduire les expressions des dérivées des fonctions x \mapsto 0,2 x \text { et } x \mapsto-\frac{x}{3}.

5

À l'oral

Rappeler l'expression de la fonction dérivée de la fonction carré. En déduire l'expression de la fonction dérivée de x \mapsto -x^2.

6

À l'oral

Soit f la fonction définie sur \mathbb{R} par f(x)=4 x^2+1. Parmi les expressions suivantes, laquelle est celle de la dérivée de f ?

7

Regrouper les fonctions suivantes par couple fonction/fonction dérivée.

8

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

f(x)=12-1,5 x^2+6 x^3.

9

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction g définie sur \mathbb{R} par :

g(x)=-x^3+7 x+7.

10

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction h définie sur \mathbb{R} par :

h(x)=\frac{4}{5} x^2-x-1.

11

Déterminer l'expression de la dérivée de la fonction k définie sur \mathbb{R} par :

k(x)=\frac{x^3+3 x^2-3 x+6}{3}.

12

Déterminer les expressions des fonctions dérivées de f: x \mapsto 9-x^2 \text { et } g: x \mapsto-x^2+1.

Que remarque-t-on ?

13

Déterminer l'expression de la fonction dérivée de \ell : x \mapsto 4 x^2-3 x+7 et donner l'expression d'une autre fonction qui admet la même fonction dérivée.

Soit g la fonction définie sur [-10 ; 10] par g(x)=1,2 x^2-6 x-1.
La courbe représentative de g admet-elle une ou plusieurs tangentes horizontales sur son ensemble de définition ? Si oui, donner une équation de chacune de ces tangentes.

Soit x \in[-10 ; 10].
Il existe une tangente horizontale au point d'abscisse x si, et seulement si, g^{\prime}(x)=0.
Or, pour tout x \in[-10 ; 10], g^{\prime}(x)=1,2 \times 2 x-6-0=2,4 x-6.
On a alors :

2,4 x-6=0 \Leftrightarrow 2,4 x=6 \Leftrightarrow x=\frac{6}{2.4} \Leftrightarrow x=2,5.

Finalement, il existe une et une seule tangente horizontale, au point d'abscisse 2,5.
Par ailleurs, g(2,5)=1,2 \times 2,5^2-6 \times 2,5-1=-8,5 donc l'équation réduite de cette tangente est y=-8,5.

14

À l'oral

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x+2.

Justifier que la courbe représentative de cette fonction n'admet aucune tangente horizontale.

15

À l'oral

On considère la fonction g définie sur \mathbb{R} par g(x)=3 x^2.

Combien de tangentes horizontales la courbe représentative de cette fonction admet-elle ? Justifier.

16

À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction h définie sur \mathbb{R}. Déterminer l'équation réduite des deux tangentes horizontales à cette courbe.

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17

Montrer que la courbe représentative de f: x \mapsto x^3-1 admet une unique tangente horizontale. En quelle abscisse ?

18

La fonction h: x \mapsto x^3-300 x+2 admet-elle des tangentes horizontales ? En quels points ?

19

Montrer que la courbe représentative de g: x \mapsto 0,1 x^2-x+2,5 admet pour tangente horizontale la droite d'équation y=0.

20

Montrer que la courbe représentative de k: x \mapsto 5 x^3-135 x+9 admet deux tangentes horizontales, aux points d'abscisse x_1=-3 \text { et } x_2=3.

Quelles sont les équations de ces tangentes ?

On détermine les variations de f à partir du tableau de signes de sa dérivée. Les extremums se déduisent du tableau de variations.
Plus précisément :

• on détermine l'expression de f^{\prime}(x);


• on résout f^{\prime}(x)=0 et on en déduit le signe de f^{\prime}(x) sur l'intervalle d'étude ;


• on détermine les variations de f sur l'intervalle d'étude en utilisant le signe de la dérivée.

Pour tout réel x, f^{\prime}(x)=4 \times 1-7 \times 2 x=4-14 x.

f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow 4-14 x=0 \Leftrightarrow x=\frac{4}{14}=\frac{2}{7}.

Puisque f' est une fonction affine de coefficient directeur négatif, on construit le tableau de signes de f^{\prime}(x) puis on en déduit les variations de f.


On en déduit que f admet un maximum atteint en x=\frac{2}{7} et valant f\left(\frac{2}{7}\right)=4 \times \frac{2}{7}-7 \times\left(\frac{2}{7}\right)^2=\frac{4}{7}.

21

À l'oral

Le tableau suivant est le tableau de signes de la fonction dérivée g' d'une fonction g.

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La fonction g admet-elle un extremum ? Justifier.

22

À l'oral

Soit h la fonction définie sur \mathbb{ R} par :

h(x)=x^2-2 x+3.

Déterminer les variations de h sur \mathbb{R}.

23

En utilisant la fonction dérivée, déterminer les variations de la fonction f définie sur \mathbb{R} par f(x)=3 x+2.

24

Compléter le tableau de variations de g d'après le signe de g^{\prime}(x).
On donne g(-1)=5.

25

Compléter le tableau de variations de f d'après le signe de f^{\prime}(x).
On donne f(-1)=-1 et f(0)=0.

26

Construire le tableau de variations de la fonction f définie sur [0 ; 30] par :

f(x)=27 x^2-6 x+1.

27

Soit h la fonction définie sur \mathbb{R} par :

h(x)=x^3+x+1.

1. Déterminer l'expression de h^{\prime}(x) pour tout x \in \mathbb{R}.

2. Déterminer le signe de 3 x^2+1 en fonction de x \in \mathbb{R}.

3. En déduire les variations de h sur \mathbb{R}.

On observe le signe de la dérivée et on applique le cours :

• si la dérivée f' est positive sur un intervalle \mathrm{J}, alors la fonction f est croissante sur \mathrm{J} ;


• si la dérivée f' est négative sur un intervalle \mathrm{J}, alors la fonction f est décroissante sur \mathrm{J} ;

Le signe de f' donne les variations de f.
On observe sur le graphique que f' est positive sur ]-\infty ;-1], négative sur [-1 ; 2] et à nouveau positive sur [2 ;+\infty[.
On en déduit alors les variations de f sur \mathbb{R}.

Donc f est croissante sur ]-\infty ;-1], décroissante sur [-1 ; 2] et croissante sur [2 ;+\infty[.

28

À l'oral

La courbe ci-dessous représente une fonction g. Déterminer, en justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. g' s'annule deux fois sur [-1 ; 1].

2. g' est positive sur ]-\infty ;-0,5] et négative sur [-0,5 ;+\infty[.

29

On considère deux fonctions h et g définies sur [-4 ; 4] dont on donne les représentations graphiques de leur fonction dérivée h' et g'.

1. Déterminer graphiquement le signe de h' ainsi que celui de g' sur [-4 ; 4].

2. En déduire les variations des fonctions h et g sur [-4 ; 4].