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Exercices rituels et automatismes
Exercices rituels
Automatismes
Partie 1 - Information chiffrée
Ch. 1
Analyse de l'information chiffrée
Partie 2 - Probabilités
Ch. 2
De la statistique aux probabilités
Partie 3 - Phénomènes d’évolution
Ch. 3
Croissance linéaire
Ch. 4
Croissance exponentielle
Partie 4 - Dérivation
Ch. 5
Variations instantanées
Ch. 6
Variations globales
GeoGebra
Chapitre 6
Exercices d'entraînement
2. Dérivées des fonctions de référence
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36
Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
1. f: x \mapsto x^2+3 x-2
2. g: x \mapsto 5 x^3-4 x^2+8
3. h: x \mapsto x^3+x^2+x+1
4. j: x \mapsto-2 x^3-5 x+8 x^2+1
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37
Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
1. f: x \mapsto 0,3 x^2+4 x-6
2. g: x \mapsto 2-9 x^2
3. h: x \mapsto 5 x^3+18 x-15
4. j: x \mapsto \frac{4}{3} x^3+\frac{5}{2} x^2
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38
Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.
1. f: x \mapsto \frac{x^2-5 x-7}{4}
2. g: x \mapsto 1-x^2-x^3
3. h: x \mapsto x\left(x^2+1,2 x+8\right)
4. j: x \mapsto(x-3)^2
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39
Copie d'élève
Pour déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=6-10,2 x^2, Ahmed écrit le raisonnement suivant.
Je remplace x^2 par 2x, j'obtiens
f^{\prime}(x)=6-10,2 \times 2 x=6-20,4 x.
Corriger son erreur et écrire un raisonnement correct.
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40
Soit f la fonction définie pour tout réel x par :
f(x)=0,25 x^2+0,5 x-3.
Montrer que la courbe représentative de f admet une tangente horizontale et donner son équation réduite.
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41
Soit g la fonction définie pour tout réel x par :
g(x)=12 x^3-30 x^2+25 x-10
1. a. Déterminer l'expression de g^{\prime}, la fonction dérivée de g.
b. Montrer que, pour tout réel x, g^{\prime}(x)=(6 x-5)^2.
2. Justifier que la courbe représentative de g admet une seule tangente horizontale et donner son équation réduite.
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42
En physique
Roger frappe une balle de tennis depuis une hauteur de 2 m pour lui donner une vitesse initiale de 68,6 m/s.
On modélise l'altitude de la balle à l'instant t \geqslant 0 par la fonction z définie par z(t)=-4,9 t^2+6,86 t+2.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. La vitesse de la balle peut être décomposée en deux composantes : une composante horizontale et une composante verticale. Montrer que la vitesse verticale de la balle est nulle au bout de 0,7 s.
2. Quelle altitude a-t-elle atteinte à ce moment-là ?
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43
Fil rouge
Une canette cylindrique de volume 33 cL admet une surface totale \mathrm{S} (surface latérale ainsi que le haut et le bas) exprimée en cm2 en fonction de son rayon r donné en cm. On admet que la courbe ci‐dessous est celle de \mathrm{S} en fonction de r et que la dérivée de cette fonction est définie par \mathrm{S}^{\prime}(r)=\frac{4 \pi r^3-660}{r^2}, pour tout rayon r > 0.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation 4 \pi r^3-660=0.
2. À quoi correspond ce résultat sur le graphique ?
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44
En économie
Une entreprise estime que le coût de sa production, en euro, est donné en fonction du nombre x d'unités produites par \mathrm{C}(x)=-0,008 x^2+1,2 x+50.
Le coût marginal \mathrm{C}_m(x) représente le coût de production d'une unité supplémentaire quand on en a déjà produit x. Il est défini par :
\mathrm{C}_m(x)=\mathrm{C}(x+1)-\mathrm{C}(x)
1. a. Calculer et interpréter \mathrm{C(10)}.
b. Calculer et interpréter \mathrm{C(9)}
c. Calculer et interpréter \mathrm{C}_m(9).
2. Calculer et interpréter \mathrm{C}_m(20).
b. Calculer et interpréter \mathrm{C(9)}
c. Calculer et interpréter \mathrm{C}_m(9).
2. Calculer et interpréter \mathrm{C}_m(20).
3. On admet que, lorsque x est suffisamment grand, \mathrm{C}_m(x) peut être approché par \mathrm{C}^{\prime}(x).
a. Déterminer l'expression de \mathrm{C}^{\prime}(x).
b. Calculer \mathrm{C}^{\prime}(9) et \mathrm{C}^{\prime}(20).
Retrouve‐t‐on approximativement les résultats des questions 1. c. et 2 ?
b. Calculer \mathrm{C}^{\prime}(9) et \mathrm{C}^{\prime}(20).
Retrouve‐t‐on approximativement les résultats des questions 1. c. et 2 ?
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