2. Dérivées des fonctions de référence

36

Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. f: x \mapsto x^2+3 x-2

2. g: x \mapsto 5 x^3-4 x^2+8

3. h: x \mapsto x^3+x^2+x+1

4. j: x \mapsto-2 x^3-5 x+8 x^2+1

37

Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. f: x \mapsto 0,3 x^2+4 x-6

2. g: x \mapsto 2-9 x^2

3. h: x \mapsto 5 x^3+18 x-15

4. j: x \mapsto \frac{4}{3} x^3+\frac{5}{2} x^2

38

Déterminer sur \mathbb{R} l'expression de la fonction dérivée de chacune des fonctions suivantes.

1. f: x \mapsto \frac{x^2-5 x-7}{4}

2. g: x \mapsto 1-x^2-x^3

3. h: x \mapsto x\left(x^2+1,2 x+8\right)

4. j: x \mapsto(x-3)^2

39

Copie d'élève

Pour déterminer l'expression de la fonction dérivée de la fonction f définie, pour tout réel x, par f(x)=6-10,2 x^2, Ahmed écrit le raisonnement suivant.

Je remplace x^2 par 2x, j'obtiens

f^{\prime}(x)=6-10,2 \times 2 x=6-20,4 x.

Corriger son erreur et écrire un raisonnement correct.

40

Soit f la fonction définie pour tout réel x par :

f(x)=0,25 x^2+0,5 x-3.

Montrer que la courbe représentative de f admet une tangente horizontale et donner son équation réduite.

41

Soit g la fonction définie pour tout réel x par :

g(x)=12 x^3-30 x^2+25 x-10

1. a. Déterminer l'expression de g^{\prime}, la fonction dérivée de g.

b. Montrer que, pour tout réel x, g^{\prime}(x)=(6 x-5)^2.

2. Justifier que la courbe représentative de g admet une seule tangente horizontale et donner son équation réduite.

42

En physique

Roger frappe une balle de tennis depuis une hauteur de 2 m pour lui donner une vitesse initiale de 68,6 m/s.

On modélise l'altitude de la balle à l'instant t \geqslant 0 par la fonction z définie par z(t)=-4,9 t^2+6,86 t+2.



1. La vitesse de la balle peut être décomposée en deux composantes : une composante horizontale et une composante verticale. Montrer que la vitesse verticale de la balle est nulle au bout de 0,7 s.

2. Quelle altitude a-t-elle atteinte à ce moment-là ?

43

Fil rouge

Une canette cylindrique de volume 33 cL admet une surface totale \mathrm{S} (surface latérale ainsi que le haut et le bas) exprimée en cm² en fonction de son rayon r donné en cm. On admet que la courbe ci‐dessous est celle de \mathrm{S} en fonction de r et que la dérivée de cette fonction est définie par \mathrm{S}^{\prime}(r)=\frac{4 \pi r^3-660}{r^2}, pour tout rayon r > 0.



1. Résoudre dans \mathbb{R} l'équation 4 \pi r^3-660=0.

2. À quoi correspond ce résultat sur le graphique ?