Marie s'est endormie en lisant son roman. Elle n'a aucune idée de l'heure qu'il peut être et regarde alors son réveil qui est cassé : la petite aiguille est tombée et la grande aiguille est sur le 3.

Paul veut faire un tour de manège qui est sur une piste circulaire de centre \text{O.}
La distance entre Paul et \text{O} est de 1 dam.
Le départ se fait au point \text{M} et le manège tourne dans le sens de la flèche. La voiture dans laquelle il se déplace décrit un arc de cercle \overset{\Large{_{\frown}}}{\text{MP}} mesuré en dam et un angle \widehat{\mathrm{POM}} mesuré en degré.

Compléter le tableau suivant où \text{P} est la position de Paul correspondant à l'angle \widehat{\mathrm{POM}} en degré et \text{L} est la longueur exacte, en dam, parcourue depuis le départ.

2

Paul a fait quatre tours depuis le début et arrive en position \text{P} comme dans l'image ci‑après. Quelle est la longueur totale \text{L} qu'il a parcourue ?

Paul refait un tour de manège. Alors qu'il n'a pas encore fait un tour complet, ses parents l'entendent pleurer : le manège s'est arrêté après avoir décrit un angle de 270°.
Ils décident alors de le rejoindre au plus vite en partant du point \text{M} et en longeant la piste circulaire.

a) Quelle sera la mesure de l'angle décrite par les parents en degré ?

b) Quelle distance vont-ils alors parcourir s'ils longent parfaitement le manège ?

On sait repérer, à l'aide de coordonnées cartésiennes, des villes sur une carte.
Par exemple, le repère orthonormé ci-après a pour origine Bordeaux et la droite reliant Bordeaux à Cherbourg est l'axe des ordonnées.

1

En utilisant ce repère, donner le plus précisément possible les coordonnées de Bordeaux, Nantes, Nancy et Clermont-Ferrand.

Sergei, grand amateur d'aviation, a entendu dire qu'il existait un autre système de coordonnées utilisé en navigation. Il s'agit des coordonnées polaires. Dans le repère ci‑après Bordeaux est toujours l'origine du repère et les coordonnées de Limoges sont \left(2\:; 30^{\circ}\right).

a) Donner une explication de la lecture des coordonnées polaires en s'aidant de celles de Limoges et celles de Toulouse qui sont \left(2\:;-45^{\circ}\right).

Aide

Il faut trouver la signification de chacun des deux nombres : quelle interprétation graphique peut‑on leur donner ?

b) Déterminer les coordonnées polaires d'Amiens, de Cherbourg et de Besançon ainsi que la distance entre ces villes et Bordeaux.

c) Quel pourrait être l'intérêt des coordonnées polaires, par exemple pour la navigation en bateau ou en avion ?

3

À partir des coordonnées polaires de Limoges, comment peut-on retrouver les coordonnées cartésiennes en utilisant des formules simples de trigonométrie ?

Bilan

Un point \text{M} a pour coordonnées cartésienne ({x}\: ; {y}) dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}).
Comment retrouver ses coordonnées polaires ({r}\:; {\theta}) où r est la distance à l'origine \text{O} et \theta=\widehat{\text{IOM}} \:?