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Algèbre
Ch. 1
Suites numériques
Ch. 2
Fonctions de référence
Ch. 3
Équations et inéquations du second degré
Analyse
Ch. 4
Dérivation
Ch. 5
Applications de la dérivation
Ch. 6
Fonction exponentielle
Ch. 7
Trigonométrie
Ch. 8
Fonctions trigonom étriques
Géométrie
Ch. 9
Produit scalaire
Ch. 10
Configurations géométriques
Probabilités et statistiques
Ch. 11
Probabilités conditionnelles
Ch. 12
Variables aléatoires réelles
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de seconde
Chapitre 7
Cours 1
Mesurer un angle en radian
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ACercle trigonométrique
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Définition
Dans un repère orthonormé (\text{O ; I , J}), le cercle trigonométrique \mathcal{C} est le cercle de centre \text{O} et de rayon 1 orienté dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, appelé sens direct ou encore sens trigonométrique.
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Le sens des aiguilles d'une montre est appelé sens indirect.
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BEnroulement de la droite numérique
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On place la droite numérique perpendiculaire à \text { (OI) } telle que le 0 de la droite numérique coïncide avec le point \text{I} et on l'oriente dans le sens de \text{O} vers \text{J.} On enroule la demi-droite des réels positifs sur le cercle \mathcal{C} dans le sens trigonométrique et la demi-droite des réels négatifs sur le cercle \mathcal{C} dans le sens indirect.
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Définition
À chaque nombre réel x de la droite numérique, on associe un unique point \text{M} du cercle trigonométrique que l'on appelle point image.
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Propriété
Deux nombres réels x et x' de la droite numérique ont le même point image sur \mathcal{C} si et seulement si x=x^{\prime}+k \times 2 \pi avec k \in \mathbb{Z}.
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Cette propriété est une équivalence, elle est donc vraie dans les deux sens.
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Démonstration
Principe : l'idée de la démonstration repose sur le fait que le périmètre du cercle trigonométrique a pour longueur 2\pi. Pour tout point \text{M} du cercle, on peut alors calculer la longueur de l'arc \overset{\Large{_{\frown}}}{\text{IM}} ou bien « parcourir » plusieurs fois le cercle jusqu'à revenir au point \text{M.} La longueur « parcourue » sera donc augmentée de 2\pi à chaque tour. En parcourant le cercle dans le sens indirect, on obtient les valeurs négatives.
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On dit que x et x' sont égaux à 2\pi près.
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Exemple
En remarquant que \pi=3 \pi-1 \times 2 \pi=-5 \pi+3 \times 2 \pi, on en déduit que \pi, 3 \pi et -5 \pi ont le même point image sur le cercle trigonométrique : le point de coordonnées (-1 \: ; 0).
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Application et méthode
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Énoncé
À l'aide du cercle trigonométrique ci-contre, répondre aux questions suivantes en sachant que les points \text{F, O, C} appartiennent au cercle de centre \text{I} et de rayon \text{1.}
1. Quels sont les points images des réels \dfrac{\pi}{3},-2 \pi et \dfrac{3 \pi}{2}\:?
2. a. Que peut-on dire des points images des réels \dfrac{\pi}{4} et \dfrac{9 \pi}{4} ?
b. Donner deux autres nombres réels associés au même point image.
1. Quels sont les points images des réels \dfrac{\pi}{3},-2 \pi et \dfrac{3 \pi}{2}\:?
2. a. Que peut-on dire des points images des réels \dfrac{\pi}{4} et \dfrac{9 \pi}{4} ?
b. Donner deux autres nombres réels associés au même point image.
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1. Pour trouver un point image :
2. Pour déterminer plusieurs réels associés au même point sur le cercle trigonométrique, il suffit d'ajouter ou de soustraire 2\pi au réel donné.
- on utilise le fait que la longueur du cercle trigonométrique est 2 \pi
- par proportionnalité, le demi-cercle mesure \pi et le quart de cercle mesure \dfrac{\pi}{2}
2. Pour déterminer plusieurs réels associés au même point sur le cercle trigonométrique, il suffit d'ajouter ou de soustraire 2\pi au réel donné.
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Solution
1. Le point image de \dfrac{\pi}{3} est \text{C.}
Le point image de -2\pi est \text{I.}
Le point image de \dfrac{3 \pi}{2} est \text{J'.}
2. a. \dfrac{9 \pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2 \pi donc ils sont associés au même point image sur le cercle trigonométrique : le point \text{B.}
b. \dfrac{9 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{17 \pi}{4} et \dfrac{17 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{25 \pi}{4} sont également associés au point \text{B}.
Le point image de -2\pi est \text{I.}
Le point image de \dfrac{3 \pi}{2} est \text{J'.}
2. a. \dfrac{9 \pi}{4}=\dfrac{\pi}{4}+2 \pi donc ils sont associés au même point image sur le cercle trigonométrique : le point \text{B.}
b. \dfrac{9 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{17 \pi}{4} et \dfrac{17 \pi}{4}+2 \pi=\dfrac{25 \pi}{4} sont également associés au point \text{B}.
Pour s'entraîner
Exercices et p. 193
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CAngle en radian
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Définition
Le radian est la mesure d'un angle au centre qui intercepte sur \mathcal{C} un arc de longueur \text{1.}
Par conséquent 360^{\circ}=2 \pi rad, 180^{\circ}=\pi rad et 1 rad \approx 57\text{,}3^{\circ}.
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Les angles en radian et en degré sont proportionnels.
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Le radian est noté rad.
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Application et méthode
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Énoncé
Compléter le tableau suivant.
| Angle en degré | 0 | 30 | 45 | 60 | 90 | 180 | 270 | 360 |
| Angle en radian | \pi |
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On utilise la proportionnalité d'un angle en radian et d'un angle en degré (180° = \pi rad).
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