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Chapitre 7
Cours 2
Cosinus et sinus d'un nombre réel
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AGénéralités
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Définition
On considère un réel x ayant pour point image le point \text{M} sur le cercle trigonométrique.
- L'abscisse du point \text{M} est appelée cosinus de x. On la note \cos (x).
- L'ordonnée du point \text{M} est appelée sinus de x. On la note \sin (x).
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Propriété
Pour tout nombre réel x, on a :
- -1 \leqslant \cos (x) \leqslant 1
- -1 \leqslant \sin (x) \leqslant 1
- \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1
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Lorsqu'il n'y a pas de confusion possible, on pourra écrire directement \cos x
et \sin x.
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Démonstration
Comme \text{M} est sur le cercle trigonométrique et que ce cercle a pour rayon 1, par définition du sinus et du cosinus, on obtient directement les deux premiers résultats. Pour le dernier résultat, on utilise le théorème de Pythagore en prenant le rayon [\mathrm{OM}] du cercle comme hypoténuse.
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Exemple
- \cos ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{\pi}{7}\right)=1
- \cos ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)+\sin ^{2}\left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=1
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{\cos ^{2}(x)} {=[\cos (x)]^{2}}
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Application et méthode
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Énoncé
Sachant que x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] et que \sin (x)=0{,}4, donner la valeur exacte puis une valeur approchée au centième de \cos (x).
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- On utilise la formule \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 qui permet de relier le sinus et le cosinus d'un nombre.
- On résout l'équation associée.
- On choisit la bonne valeur en utilisant l'intervalle auquel appartient x.
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Solution
On sait que \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1 donc \cos ^{2}(x)=1-0{,}4^{2}=0{,}84.
On en déduit que \cos (x)=\sqrt{0{,}84} ou \cos (x)=-\sqrt{0{,}84}
Or, x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] donc \cos (x) \leqslant 0 et ainsi \cos (x)=-\sqrt{0{,}84} \approx-0{,}92
On en déduit que \cos (x)=\sqrt{0{,}84} ou \cos (x)=-\sqrt{0{,}84}
Or, x \in\left[\dfrac{\pi}{2} \:; \pi\right] donc \cos (x) \leqslant 0 et ainsi \cos (x)=-\sqrt{0{,}84} \approx-0{,}92
Pour s'entraîner
Exercices à p. 193
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BValeurs remarquables
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Tableau des valeurs remarquables à connaître :
| angle | 0 | \dfrac{\pi}{6} | \dfrac{\pi}{4} | \dfrac{\pi}{3} | \dfrac{\pi}{2} | \pi | \dfrac{3\pi}{2} | 2\pi |
| \cos(x) | 1 | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{1}{2} | 0 | -1 | 0 | 1 |
| \sin(x) | 0 | \dfrac{1}{2} | \dfrac{\sqrt{2}}{2} | \dfrac{\sqrt{3}}{2} | 1 | 0 | -1 | 0 |
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Démonstration
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Grâce à ce tableau, on peut en déduire d'autres mesures de cosinus et sinus comme on le verra dans les exercices.
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Application et méthode
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Énoncé
Sans utiliser la calculatrice, déterminer la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right).
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- On commence par repérer les valeurs remarquables qui seront utiles.
- En s'aidant du cercle trigonométrique et des symétries, on détermine les valeurs intervenant dans l'expression.
- On effectue le calcul sans faire d'erreur de signe.
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Solution
\cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-1}{2}
\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{-1}{2}
\sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}
Donc, \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{3}}{4}
\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{-1}{2}
\sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}
Donc, \cos \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)+\sin \left(\dfrac{-5 \pi}{6}\right) \times \sin \left(\dfrac{-\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{-\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-2+\sqrt{3}}{4}
Pour s'entraîner
Exercices et p. 193
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