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Chapitre 7
TP / TICE 1
Approximation de \pi par la méthode d'Archimède
17 professeurs ont participé à cette page
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Énoncé
On souhaite connaître le plus précisément possible la valeur de \pi.
Pour cela, on va utiliser la méthode d'Archimède qui consiste à encadrer la circonférence d'un cercle de rayon 1 par des polygones réguliers inscrits et circonscrits ayant de plus en plus de côtés.
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Questions préliminaires :
On note \mathrm{P}_{n} la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à n côtés et \mathrm{P}_{n}^{\prime} celle du polygone régulier extérieur à n côtés.
On note \mathrm{P}_{n} la valeur du périmètre du polygone régulier intérieur à n côtés et \mathrm{P}_{n}^{\prime} celle du polygone régulier extérieur à n côtés.
1. À l'aide de la figure, justifier que \mathrm{P}_{6}=6.
2. En sachant que \tan (30)=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, justifier que \mathrm{P}_{6}^{\prime}=4 \sqrt{3}.
3. En déduire une première approximation de \pi. On admet pour la suite que \mathrm{P}_{n}=2 \times n \times \sin \left(\dfrac{180}{n}\right) et \mathrm{P}_{n}^{\prime}=2 \times n \times \tan \left(\dfrac{180}{n}\right).
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Objectif
Donner une approximation de \pi avec
la précision souhaitée à l'aide d'une des
deux méthodes.
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Méthode 1Tableur
1. Créer une feuille de calcul permettant de calculer
\text{P} et \text{P}' en fonction de n.
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian donc, si on veut calculer la valeur du cosinus de 130°, on écrira : =cos(RADIANS(130)).
Remarque : Les fonctions trigonométriques du tableur attendent des angles en radian donc, si on veut calculer la valeur du cosinus de 130°, on écrira : =cos(RADIANS(130)).
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2.
Dans la colonne D, afficher la différence entre \text{P}'
et \text{P.}
3. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-1}\: ?
Quelle serait alors une approximation de \pi ?
4. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-2}\: ? Quelle serait alors une approximation de \pi ?
3. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-1}\: ?
Quelle serait alors une approximation de \pi ?
4. Quelle valeur faut-il donner à n pour avoir un encadrement de \pi d'amplitude 10^{-2}\: ? Quelle serait alors une approximation de \pi ?
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Méthode 2Python
On souhaite créer un programme permettant de calculer une approximation de \pi avec une
précision p donnée. Dans l'algorithme suivant, on note n le nombre de côtés des deux polygones et \text{P1} et \text{P2} correspondent respectivement aux
périmètres \mathrm{P}_{n} et \text{P}_{n}^{\prime}.
1. Reproduire et compléter cet algorithme.
2. Expliquer la condition d'arrêt de la boucle Tant que.
\boxed{
\begin{array} {c|l }
1&\text { p } \leftarrow \text { 1 } \\
2&\text { n } \leftarrow \text { 6 } \\
3&\text { P1 } \leftarrow \text { ... } \\
4&\text { P2 } \leftarrow \text { ... } \\
5&\text { A } \leftarrow \text { P1 / 2 } \\
6&\text { B } \leftarrow \text { P2 / 2 } \\
7&\text { Tant que } \text{(B-A)} > 10^{-\text{p}} : \\
8&\quad \text { n } \leftarrow \text { n+1 } \\
9&\quad \text { A } \leftarrow \text { ... } \\
10&\quad \text { B } \leftarrow \text { ... } \\
11&\text {Fin Tant que}
\end{array}
}
1. Reproduire et compléter cet algorithme.
2. Expliquer la condition d'arrêt de la boucle Tant que.
3. Programmer cet algorithme avec Python afin d'obtenir un encadrement de \pi avec la précision p donnée ainsi que le nombre de côtés correspondant. Choisir p = 1 pour commencer puis p = 2.
On pensera à utiliser la fonction radians pour manipuler des angles en radian avec Python.
On pensera à utiliser la fonction radians pour manipuler des angles en radian avec Python.
from math import *
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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