Les parties de cet exercice sont indépendantes et chacune d'entre elles peut être réalisée seul(e) ou en groupe. Les élèves mettent leurs résultats en commun pour résoudre le problème.

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Énoncé

Dans le cours, on donne des valeurs remarquables du cosinus et du sinus d'un nombre. Le but de cet exercice est de les démontrer en utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle.

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Partie 1

On s'intéresse à un triangle \text{ABC} rectangle et isocèle en \text{B} tel que \text{AB = BC = }a.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \widehat{\mathrm{BAC}}.

2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}) et de \sin (\widehat{\mathrm{BAC}}).

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Partie 2

On s'intéresse à un triangle équilatéral \text{ABC} de côté a. On appelle \text{D} le pied de la hauteur issue de \text{C.}

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \widehat{\mathrm{BAC}}.

2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}) et de \sin (\widehat{\mathrm{BAC}}).

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Partie 3

On s'intéresse à un triangle équilatéral \text{ABC} de côté a. On appelle \text{D} le pied de la hauteur issue de \text{C.}

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Déterminer, en justifiant, la mesure de \widehat{\mathrm{ACD}}.

2. En utilisant les formules de trigonométrie dans le triangle rectangle, déterminer les valeurs exactes de \cos (\widehat{\mathrm{ACD}}) et de \sin (\widehat{\mathrm{ACD}}).

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Mise en commun

En mettant les résultats de chaque partie en commun, compléter le tableau de cours suivant.

Angle en degré	30°	45°	60°
Angle en radian
Valeur du cosinus
Valeur du sinus

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Pour aller plus loin

On pourra faire l'exercice 85
p. 201 pour déterminer la valeur exacte de \cos \left(\dfrac{2 \pi}{5}\right).

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