Lors d'un mouvement, le vecteur vitesse instantanée peut varier en direction, en sens et en norme. On définit alors le vecteur variation de vitesse instantanée entre un instant t et un instant t' :


En pratique, on ne peut pas mesurer la vitesse d'un point à deux instants infiniment proches, séparés d'une durée \Delta t infiniment petite. Comme on mesure la vitesse moyenne entre deux points, on définit le vecteur variation de vitesse moyenne entre deux points.

Le vecteur variation de vitesse moyenne \Delta \vec {v}_{3} au point \text{M}_3 a pour expression : \Delta \vec {v}_{3}= \vec{v}_{4} - \vec{v_3}.

Il s'obtient graphiquement en ajoutant le vecteur \vec{v}_{4} à l'opposé du vecteur \vec{v}_{3} au point \text{M}_3

➜ Fiche méthode 4, p. 385

.

Le vecteur variation de vitesse moyenne calculé entre deux points est, en première approximation, appelé vecteur variation de vitesse.

Remarque : Pour des valeurs de \Delta t importantes, le calcul de la vitesse donne de meilleurs résultats en prenant les points \text{M}_{\text{i}-1} et \text{M}_{\text{i}+1} que les points \text{M}_{\text{i}+1} et \text{M}_{\text{i}} .

➜ La norme d'une somme de vecteurs n'est en général pas égale à la somme des normes, mais :

Lorsque plusieurs forces s'exercent sur un système, on définit le vecteur résultante des forces \vec{F}_{\text{résultante}}.

Le vecteur résultante des forces \vec{F}_{\text{résultante}} est égal à la somme des forces extérieures qui s'appliquent sur le système.

On peut donc aussi l'écrire plus simplement \Sigma \vec{F}.

Alors que la cinématique est la science purement descriptive du mouvement, la dynamique est la science qui relie les caractéristiques du mouvement à ses causes. Dans ce chapitre, on modélise le système étudié par un point matériel situé en son centre de gravité.

En l'absence de force, ou si les forces se compensent, le système est immobile ou en mouvement rectiligne uniforme. C'est la première loi de Newton, appelée aussi principe d'inertie. Si \Sigma \vec{F} = \vec{0} , alors \Delta\vec{v} = \vec{0}.

Exemple : Dans le film Gravity, après la rupture du câble qui la reliait à la station spatiale, l'astronaute Ryan Stone, jouée par Sandra Bullock, dérive en mouvement rectiligne uniforme dans le vide car soumis à aucune force (doc. 3).

Au contraire, l'action d'une force permet de sortir un objet de son état de repos ou de mouvement rectiligne uniforme.

Lors d'un service au tennis (doc. 4), la balle est lancée verticalement vers le haut. La force exercée par la raquette sur la balle modifie sa trajectoire et accélère son mouvement, le vecteur vitesse de la balle varie : \Delta \vec{v} \ne \vec{0}.

Ainsi, une force a pour effet de modifier la trajectoire et/ou la valeur de la vitesse d'un objet.

Un ensemble de forces dont la résultante \Sigma \vec{F} est non nulle est responsable de la variation du vecteur vitesse \vec{v} du système.

Si \Sigma \vec{F} \ne \vec{0} , alors \Delta \vec{v} \ne \vec{0}.

➜ Une force n'est pas nécessaire pour maintenir un objet en mouvement. D'après le principe d'inertie, en l'absence de forces ou si les forces se compensent, l'objet est au repos ou en mouvement rectiligne uniforme.

• Point matériel : point modèle contenant la masse du système, situé en son centre de gravité.

Les lois de Newton s'appliquent dans des référentiels dits galiléens uniquement.

Un référentiel est dit galiléen si le principe d'inertie est vérifié dans celui-ci.

Le référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen pour des études de mouvement de durée faible par rapport à la durée de rotation complète de la Terre (24 h).

Lors d'un service, la force exercée par le joueur sur la balle modifie la direction et la valeur de sa vitesse.

On peut relier la variation de la vitesse d'un système par rapport au temps à la somme des forces qui agissent sur lui.

Soit un point matériel \text{M} animé d'une vitesse \vec{v}, soumis à un ensemble de forces dont la somme vaut \Sigma \vec{F} à un instant t. Les forces appliquées au point matériel induisent un changement de vitesse.

La variation de vitesse instantanée d'un système par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces qui s'appliquent sur lui : \dfrac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = k · \Sigma \vec{F} où k est un réel positif normal.

En pratique, pour obtenir la résultante des forces qui s'exercent sur le point matériel à la date t_2, on mesure la variation de vitesse entre deux dates proches, t_2 et t_3.

Exemple :
Doc. 5 La variation de vitesse au point \text{P}_3 par rapport au temps est proportionnelle à la résultante des forces appliquées au point \text{P}_3.

\dfrac{\Delta \vec{v_3}}{t_4 - t_3} = k · \Sigma \vec{F}.

Par conséquent, le vecteur variation de vitesse \Delta \vec v_3 au point \text{P}_3 est de même direction et de même sens que la résultante des forces \vec F s'appliquant au système à l'instant t_3 et sa valeur \Delta v_3 est proportionnelle à l'intensité de \Sigma \vec F.

➜ t_2 et t_1 sont des dates tandis que x est une durée. La durée est définie comme le temps séparant deux dates, par exemple : \Delta t = t_2 - t_1.
➜ La durée séparant deux positions sur une chronophotographie est souvent notée \tau.

On définit l'inertie comme la tendance d'un corps à conserver sa vitesse. Plus la masse d'un objet est importante, plus son inertie est grande. La force qu'il faut fournir à un objet pour le porter d'une vitesse v_1 à une vitesse v_2 est, en un intervalle de temps \Delta t donné, proportionnelle à la masse de l'objet (doc. 6).

Cette force résultante \Sigma \vec F qui est proportionnelle à \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} est aussi proportionnelle à la masse m de l'objet.

Cette relation réunit les considérations précédentes (cf. A. et B.) :

m \: · \dfrac{\Delta v}{\Delta t} = \Sigma F

avec \Sigma F en N, \Delta{v} en m·s^-1, \Delta t en s et m en kg.

Connaissant la masse et le vecteur variation de vitesse d'un système à un instant donné, cette relation permet de déduire la direction, le sens et l'intensité de la résultante des forces qui s'appliquent à cet instant, et réciproquement.

➜ La norme du vecteur \dfrac {\Delta v}{\Delta t} s'exprime en (m·s^-1)·s^-1 donc en m·s^-2.
D'après la relation approchée de la deuxième loi de Newton, la valeur de la force résultante qui s'exprime en N peut aussi s'exprimer en kg·m·s^‑2.
Ces unités sont donc équivalentes. 1 N = 1 kg·m·s^-2.

➜ En parachutisme, l'expression chute libre désigne la phase de la chute précédant l'ouverture du parachute. En réalité, durant cette phase, le parachutiste est soumis, non seulement à son poids, mais aussi aux frottements de l'air qui ne sont pas négligeables puisque le parachutiste cesse d'accélérer et atteint une vitesse limite de 200 km·h^-1.

On dit qu'un objet est en chute libre s'il est soumis uniquement à son poids \vec P.
Comme \vec P = m \cdot \vec g , alors la relation approchée de la deuxième loi de Newton s'écrit : m \cdot \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = m \cdot \vec g soit \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} = \vec g.

Ainsi, dans le cas d'une chute libre, la variation du vecteur vitesse par rapport au temps \dfrac{\Delta \vec v}{\Delta t} est égale au champ de pesanteur \vec g.
Le vecteur variation de vitesse \Delta \vec v d'un système en chute libre est vertical, dirigé vers le bas et sa valeur ne dépend pas de sa masse.

Retrouvez une vidéo sur le tracé d'un vecteur variation de vitesse en

cliquant ici.