\text{A}(-3\: ; 2) et \text{C}(2 \: ; 4) sont deux points fixes dans un repère orthonormé. \text{B} est mobile sur une droite d parallèle à l'axe des abscisses passant par le point de coordonnées (0 \: ; 5). \text{D} est le point défini par {\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.}

1. Préparer une feuille de calcul dans laquelle on trouvera deux colonnes pour les coordonnées de \text{B} et deux colonnes pour les coordonnées de \text{D} . La colonne de l'ordonnée de \text{B} sera complétée uniquement avec des 5.


2. Exprimer les coordonnées du point \text{D} en fonction de celles du point \text{B} .

3. a. Compléter la colonne de l'abscisse de \text{B} avec tous les entiers de -10 à 10.

b. Compléter alors les colonnes des coordonnées de \text{D} en utilisant les bonnes formules. Que remarque-t-on ?

4. a. Dans un graphique, construire le nuage de points correspondant aux deux colonnes des coordonnées de \text{D} .
b. Quel est le lieu géométrique du point \text{D} ?

1. Construire la figure. Pour le point \text{D} , on utilisera la saisie suivante.

2. En activant la trace de \text{D} , déterminer son lieu géométrique lorsque \text{B} se déplace sur la droite d .

3. On rappelle que \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AC}}.
a. Déterminer la relation existant entre \overrightarrow{\text{AC}} et \overrightarrow{\text{BD}}.

b. En déduire que les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\text{BD}} sont constantes.

c. Déterminer alors l'ordonnée du point \text{D} .

4. Comment expliquer la trace de \text{D} sur GeoGebra ?

À l'aide d'un programme, on souhaite déterminer le lieu géométrique de \text{D} lorsque le point \text{B} est mobile sur d .

1. Quelles instructions permettent de connaître les coordonnées de \text{D} en fonction de celles de \text{A} , \text{B} et \text{C}.

2. Écrire un programme Python utilisant une boucle portant sur l'abscisse de \text{B} qui permet de calculer et d'afficher les coordonnées de \text{D} à chaque itération.

3. Exécuter le programme.

4. Conjecturer le lieu géométrique de \text{D} lorsque \text{B} se déplace sur d .