66
Python
[Modéliser.]
Lors d'un concours de robotique, une équipe de lycéens a programmé son robot afin qu'il contourne un obstacle central par déplacements horizontaux et verticaux.

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Les coordonnées programmées sont des nombres entiers. Partant du point \text{A} , le robot doit se déplacer en passant par \text{B} puis par \text{C} et ainsi de suite. Le robot achève son parcours en repassant par les points \text{B} puis \text{A} . Compléter cet extrait du programme de déplacement rédigé en Python par les lycéens pour que le robot réalise le parcours.

from turtle import*
goto(0,0)   # le robot est à l'origine du repère
forward(2)  # le robot avance de deux
left(90)   # rotation à gauche de 90°
forward(2)
right(90)
forward(4)
left(90)
forward(2)
right(...)
forward(...)
right(...)
forward(...)
...

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Voici les réponses d'un élève lors d'une évaluation. Dire si elles sont vraies ou fausses en justifiant.

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68
En Physique
[Représenter.]

On considère l'hélicoptère ci-dessous sur lequel sont exercées deux forces.
La rotation des pales qui permet à l'hélicoptère de voler est représentée par un vecteur dont la norme est 2U (2 unités). La force de gravitation qui attire l'hélicoptère vers le bas est représentée par un vecteur vertical orienté vers le bas et dont la norme est 1U (1 unité). L'angle formé par les deux vecteurs est de 150°.

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1. Faire une figure en prenant 5 cm pour unité.

2. Le déplacement de l'hélicoptère est décrit par la somme des deux forces exercées.
a. Construire le vecteur représentant le déplacement.
b. Mesurer sa norme à la règle pour avoir sa valeur en cm et en déduire sa valeur en U.

3. La pilote de l'hélicoptère souhaite faire du sur-place. Pour cela, on peut exercer une troisième force ayant la même origine que les deux autres.
a. Quelle est la somme des trois forces exercées sur l'hélicoptère lorsqu'il fait du sur-place ?

b. Représenter cette force sur la figure.

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69
En Physique
[Représenter.]
Une péniche est tirée par deux personnes à l'aide de cordes sur le chemin de halage qui longe le canal. Les vecteurs décrivent les deux forces en termes de sens, de direction et d'intensité.

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1. Construire le vecteur de la force totale subie par la péniche (le vecteur force totale est la somme des vecteurs forces exercées par chaque personne). Y-a-il un problème à terme ?

2. Modifier une des deux forces pour que la péniche poursuive sa course dans la même direction sans heurter la berge.

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70
En Binôme
[Communiquer.]
L'objectif de l'exercice est de réaliser par binôme une production sur le support de son choix (écrit, audio, vidéo) expliquant à partir de la manipulation d'un mobile les notions du cours sur les vecteurs. C'est une manière de savoir si les notions ont été comprises.

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1. Fabrication : construire le gabarit suivant, en carton et avec des attaches parisiennes, sachant que :
a. \text{AB} = 15 cm, \text{AD} = 10 cm (largeur des bandes 2 cm) ;
b. les diagonales (en noir) sont des élastiques ;
c. les vecteurs sont tracés en rouge.

2. Créations : réaliser un tutoriel à partir du cahier des charges mentionnant :
a. la définition d'un vecteur, de deux vecteurs égaux et de deux vecteurs opposés ;
b. les techniques de somme de deux vecteurs (relation de Chasles, propriété du parallélogramme, cas général). Les cas particuliers (parallélogramme aplati, rectangle) seront intégrés dans les explications.

3. Évaluation : échanger les productions entre binômes de proximité et les évaluer à l'aide des critères suivants : respect du vocabulaire et des notations mathématiques, clarté des explications, qualité de l'expression.

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71
[Chercher.]

Pour tester un nouveau prototype de bateau à moteur, les ingénieurs réalisent des tests sur maquette en piscine. En présence d'un courant latéral simulé par des buses, ils souhaitent étudier le cap à donner au bateau pour qu'il atteigne le port, noté \text{P} , en ligne droite. On note \overrightarrow{\mathrm{Vm}} le vecteur vitesse de la maquette sur l'eau, \overrightarrow{\mathrm{Vc}} celle du courant simulé en piscine et \overrightarrow{\mathrm{Vb}} celle de la maquette par rapport au bord.

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1. On admet que \overrightarrow{\mathrm{Vb}}=\overrightarrow{\mathrm{Vm}}+\overrightarrow{\mathrm{Vc}}. Quelle direction sur l'eau doit prendre le bateau pour atteindre le point \text{P} ?

2. Dans le cas où le bateau se positionne face au courant, à quelle condition sera-t-il capable de le remonter ?

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72
GeoGebra
[Chercher.]

Dans un triangle, on appelle médiane issue d'un sommet la droite qui passe par ce sommet et par le milieu du côté opposé. On admet que les trois médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé centre de gravité. On souhaite établir une relation vectorielle caractéristique de ce point particulier.

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1. Découper dans du carton un triangle \text{ABC} de dimension quelconque puis chercher par tâtonnement le point d'équilibre de ce triangle en utilisant la pointe d'un compas comme support.

2. Tracer les trois médianes du triangle construit et vérifier que le point d'équilibre trouvé au compas est le centre de gravité.

3. Dans GeoGebra, reproduire la figure ci-dessus où \text{D}, \text{E} et \text{F} sont les milieux respectifs de [\text{AB}], [\text{AC}] et [\text{BC}]. Représenter les vecteur \overrightarrow{\text{GA}}, \overrightarrow{\text{GB}} et \overrightarrow{\text{GC}}.

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4. Construire le vecteur somme \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}. Que constate-t-on ?

5. Rédiger la propriété observée.

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73
GeoGebra
[Raisonner.]
On considère la configuration suivante :

\text{A} et \text{B} sont deux points fixes du plan et \text{I} est le milieu de [\text{AB}]\,;

\text{C} est le cercle de diamètre [\text{AI}]\,;

\text{M} est un point mobile du cercle \text{C}\,;

\text{M}' est le point tel que \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=\overrightarrow{\mathrm{MM}^{\prime}}.

L'objectif de l'exercice est de déterminer le lieu de parcours de \text{M}' selon les positions de \text{M}.

1. Construire la figure dans GeoGebra (utiliser les commandes \bf{a = vecteur (M{,}A) + vecteur (M{,}B)} puis \bf{représentant} pour construire, à partir de \overrightarrow{a}, le vecteur \overrightarrow{\text{MM}'} d'origine \text{M}).

GeoGebra

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2. Quel lieu décrit le point \text{M}' lorsque \text{M} se déplace sur le cercle \text{C} (utiliser l'option \bf{Afficher\: la \:trace} du point \text{M}') ?

3. On va maintenant prouver cette conjecture.
a. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{MA}}+\overrightarrow{\mathrm{MB}}=2 \overrightarrow{\mathrm{MI}}. Que peut-on conclure du point \text{I} pour le segment [\text{MM}'] ?

b. En déduire le lieu de \text{M}' lorsque \text{M} décrit le cercle de diamètre [\text{AI}] .

c. Démontrer que \text{MAM}'\text{B} est un parallélogramme.

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74
[Calculer.]

On considère dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}) les points suivants : \text{A}(0 \: ; 1), \text{B}(-2 \: ; 8), \text{C}(-3 \: ; -4) et \text{D}(-5 \: ; 3).

1. Calculer les coordonnées de \text{N} tel que \overrightarrow{\text{AN}} = \overrightarrow{\text{CD}}.

2. Calculer les coordonnées de \text{M} telles que \overrightarrow{\mathrm{AM}}+\overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Que constate-t-on. Était-ce prévisible ?

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75
[Raisonner.]

On considère un parallélogramme \text{RSTU} de centre \text{O}. On place les points \text{M} et \text{N} sur le segment [\text{RS}] et \text{[UT]} tel que \overrightarrow{\mathrm{MS}}=\overrightarrow{\mathrm{UN}}. L'objectif de l'exercice est de montrer que \text{O} est le milieu de [\text{MN}] de différentes manières.

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1. Par les vecteurs.
a. En justifiant la réponse, déterminer un vecteur égal au vecteur \overrightarrow{\text{OU}}.

b. En déduire un vecteur égal au vecteur \overrightarrow{\mathrm{ON}}=\overrightarrow{\mathrm{OU}}+\overrightarrow{\mathrm{UN}}.

c. Conclure.

2. Dans le repère (\mathrm{U} \: ; \overrightarrow{\mathrm{UT}} \: , \overrightarrow{\mathrm{UR}}), on pose x l'abscisse du point \text{N}.
a. Donner les coordonnées des points suivants dans ce repère : \text{R ,} \text{S ,} \text{T ,} \text{U ,} \text{O ,} \text{N} et \text{M.}

b. Calculer les coordonnées des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{MO}} et \overrightarrow{\mathrm{ON}}.

c. Conclure.

3. En géométrie plane (niveau collège).
a. Démontrer que \text{UNSM} est un parallélogramme.

b. Conclure.

Histoire des maths

La somme de vecteurs a été formalisée pour la première fois par le mathématicien Giusto Bellavitis (1803‑1880). Elle fut par la suite appelée relation de Chasles en hommage à Michel Chasles (1793-1880), grand scientifique français du XIX^e siècle. Membre de l'académie des sciences, Chasles fut professeur à la Sorbonne et à l'École polytechnique. Il est notamment l'inventeur du terme « homothétie », vue au collège. Son nom, comme ceux des grands scientifiques français de son époque, apparaît sur la tour Eiffel.

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Club de Maths

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76
Défi

Un maître-nageur \text{M} doit secourir le plus rapidement possible un nageur \text{N} en difficulté. Sa vitesse de course est de 3,5 m/s sur le sable et il nage à la vitesse de 1 m/s.
Depuis la position \text{M}, quel est le parcours le plus rapide pour atteindre le point \text{N} ? On pensera à utiliser l'échelle pour calculer les distances nécessaires.

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77
Défi

On considère deux points \text{A}(0 \: ; 1) et \text{B}(1 \: ; -3) dans un repère. On sait qu'ils appartiennent au parallélogramme \text{ABCD} de centre \text{O} .
On sait également que l'ordonnée de \text{O} est égale à -1 et que l'abscisse de \text{D} est égale à 9. Quelles sont les coordonnées des points \text{O}, \text{C} et \text{D} ?

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Exercices transversaux en lien avec ce chapitre :

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