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Nombres et calculs
Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 6
TP / TICE 2
Somme de vecteurs
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Énoncé
Dans un repère orthonormé (\text{O} ; \text{I} , \text{J}) , on considère les points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right), \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}} \:; y_{\mathrm{B}}\right),
\mathrm{C}\left(x_{\mathrm{C}} \:; y_{\mathrm{C}}\right) et
\mathrm{G}\left(x_{\mathrm{G}}\: ; y_{\mathrm{G}}\right).
On s'intéresse aux conditions sur les coordonnées de \text{G} pour que \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0}.
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Question préliminaire
Traduire l'égalité vectorielle \overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\overrightarrow{0} par deux égalités, l'une portant sur les abscisses des points \text{A}, \text{B}, \text{C} et \text{G} et l'autre portant sur leurs ordonnées.
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Objectif
Observer les effets de cette égalité vectorielle en utilisant une des deux méthodes.
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Méthode 1Python
1. a. Dans un fichier GeoGebra, placer les points
\text{A} (-2 \: ; -4), \text{B}(1 \: ; 5) et \text{C} (7 \: ; 2).
b. Créer deux curseurs x_{\text{G}} et y_{\text{G}} variant de -6 à 6.
c. Créer le point \text{G} de coordonnées (x_{\text{G}} \: ; y_{\text{G}}).
d. Construire le vecteur \overrightarrow{b} tel que \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}.
b. Créer deux curseurs x_{\text{G}} et y_{\text{G}} variant de -6 à 6.
c. Créer le point \text{G} de coordonnées (x_{\text{G}} \: ; y_{\text{G}}).
d. Construire le vecteur \overrightarrow{b} tel que \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}.
GeoGebra
2. En utilisant le logiciel, déterminer les valeurs des curseurs x_{\text{G}} et y_{\text{G}} pour que \overrightarrow{b} = \overrightarrow{0}.
3. En déduire les coordonnées du point \text{G} . Vérifier ce résultat avec la question préliminaire.
4. Créer le point \text{D} , milieu de [\text{AB}] et vérifier graphiquement que les points \text{D} , \text{G} et \text{C} sont alignés.
5. Afficher les longueurs \text{DG} et \text{GC} puis calculer le rapport \dfrac{\text{CG}}{\text{CD}}.
6. Reproduire la même démarche (alignement des points et rapport de longueur) en changeant les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} par \text{A} (-3 \: ; 1), \text{B}(6 \: ; 3) et \text{C}(6 \: ; -7).
7. Changer encore les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} et vérifier à chaque fois l'alignement des points \text{C} , \text{G} et \text{D} ainsi que le calcul du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
8. En déduire la construction du point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle \text{RST} quelconque.
3. En déduire les coordonnées du point \text{G} . Vérifier ce résultat avec la question préliminaire.
4. Créer le point \text{D} , milieu de [\text{AB}] et vérifier graphiquement que les points \text{D} , \text{G} et \text{C} sont alignés.
5. Afficher les longueurs \text{DG} et \text{GC} puis calculer le rapport \dfrac{\text{CG}}{\text{CD}}.
6. Reproduire la même démarche (alignement des points et rapport de longueur) en changeant les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} par \text{A} (-3 \: ; 1), \text{B}(6 \: ; 3) et \text{C}(6 \: ; -7).
7. Changer encore les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} et vérifier à chaque fois l'alignement des points \text{C} , \text{G} et \text{D} ainsi que le calcul du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
8. En déduire la construction du point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle \text{RST} quelconque.
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Méthode 2Tableur
1. Dans un tableur, recopier et compléter la feuille de calcul suivante.
2. a. Grâce à la question préliminaire, quelles formules faut-il entrer dans les cellules B5 et C5 pour afficher les coordonnées du point \text{G} ?
b. Dans la ligne 6 du tableur, afficher l'abscisse et l'ordonnée du vecteur \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}. Le résultat est-il cohérent ?
3. Soit \text{D} le milieu de [\text{AB}] . Afficher, dans la ligne 7 du tableur, les coordonnées de ce point en fonction des abscisses et des ordonnées des points \text{A} et \text{B} .
Le zoom est accessible dans la version Premium.
2. a. Grâce à la question préliminaire, quelles formules faut-il entrer dans les cellules B5 et C5 pour afficher les coordonnées du point \text{G} ?
b. Dans la ligne 6 du tableur, afficher l'abscisse et l'ordonnée du vecteur \overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}. Le résultat est-il cohérent ?
3. Soit \text{D} le milieu de [\text{AB}] . Afficher, dans la ligne 7 du tableur, les coordonnées de ce point en fonction des abscisses et des ordonnées des points \text{A} et \text{B} .
4. En utilisant les formules adéquates, afficher :
la valeur de la distance \text{CG}\,;
la valeur de la distance \text{GD}\,;
la valeur de la distance \text{CD}.
Que peut-on en déduire concernant les points \text{C} , \text{G} et \text{D} ?
5. Faire afficher la valeur du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
6. Répondre aux questions 3. et 4. en utilisant les points \text{A} , \text{B} et \text{C} définis par \text{A}(-3 \: ; 1), \text{B}(6 \: ; 3) et \text{C}(6\: ; -7).
7. Changer encore les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} et conjecturer la position relative des points \text{C} , \text{G} et \text{D} ainsi que la valeur du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
8. En déduire la construction du point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle \text{RST} quelconque.
5. Faire afficher la valeur du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
6. Répondre aux questions 3. et 4. en utilisant les points \text{A} , \text{B} et \text{C} définis par \text{A}(-3 \: ; 1), \text{B}(6 \: ; 3) et \text{C}(6\: ; -7).
7. Changer encore les coordonnées des points \text{A} , \text{B} et \text{C} et conjecturer la position relative des points \text{C} , \text{G} et \text{D} ainsi que la valeur du rapport \dfrac{\mathrm{CG}}{\mathrm{CD}}.
8. En déduire la construction du point \text{M} tel que \overrightarrow{\mathrm{MR}}+\overrightarrow{\mathrm{MS}}+\overrightarrow{\mathrm{MT}}=\overrightarrow{0} dans un triangle \text{RST} quelconque.
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