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Ch. A
Statistiques continues

Ch. B
Statistiques bivariées

Ch. C
Probabilités conditionnelles

Ch. D
Valeur absolue

Nombres et calculs

Fonctions

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

Géométrie

Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6
Notion de vecteur

Ch. 7
Colinéarité de vecteurs

Testez le chapitre 100 % débloqué

Ch. 8
Équations de droites

Statistiques et probabilités

Ch. 9
Informations chiffrées

Ch. 10
Statistiques descriptives

Ch. 11
Probabilités et échantillonnage

Annexes

Exercices transversaux

Cahier d'algorithmique et de programmation

Rappels de collège

Jeux de société

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Dossier d'actualité

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Chapitre 6

Entrainement 2

Vecteurs dans un repère

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Différenciation

Parcours 1 : exercices

;

Parcours 2 : exercices

;

Parcours 3 : exercices

;

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[Communiquer.]
On considère les vecteurs suivants dans un repère orthonormé

(O; i, j) .

1. Déterminer les coordonnées des vecteurs.

2. Écrire les vecteurs dans la base

(i, j) .

comme l'exemple suivant :

OB = 3 i + 2 j .

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50
[Chercher.]
À La Rochelle, un plaisancier navigue en notant sa position sur sa carte marine.

A

est son point de départ,

B

indique la position suivante, puis

C,

et ainsi de suite jusqu'au point

F .

1. Lire sur le repère les coordonnées des points

A,

B,

C,

D,

E

F .

2. Lire les coordonnées des vecteurs

AB,

BC,

CD,

DE,

EF .

3. Le lendemain, il réalise le trajet en sens inverse, de

F

vers

A .

Quelles sont les coordonnées des vecteurs successifs de son déplacement ?

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51
[Représenter.]
Une carte d'un trésor a été retrouvée avec le parchemin suivant : « Partant de

A,

1 à l'ouest, 1 au sud ; 1 à l'ouest, 2 au sud ; 4 à l'est, 1 au nord ; 1 à l'ouest, 3 au sud ; 2 à l'ouest. » 1. Retrouver les différentes positions mentionnées dans le texte. On notera dans l'ordre les points de parcours de

B

jusqu'à

F .

2. Donner les coordonnées des vecteurs associés :

AB,

BC,

CD,

DE

EF .

3. En utilisant la même notation que celle du parchemin, quel déplacement permet de passer de

A

F

directement ?

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52
Algo

[Calculer.]
On considère l'algorithme suivant. Les variables mentionnées sont des nombres réels.

a \leftarrow x_{C} - x_{A} b \leftarrow y_{C} - y_{A} c \leftarrow x_{B} - x_{C} d \leftarrow y_{B} - y_{C} r \leftarrow 0 Si a = c et b = d alors : r \leftarrow 1 Fin Si

1. On considère les points

A (- 1; 3),

B (5; - 1)

C (2; 1) .

a. Calculer les coordonnées de

AC

CB .

b. Que peut-on dire des points

A,

B

C

2. Calculer les variables

a,

b,

c

d

à partir des points

A,

B

C .

3. En déduire le rôle de

r .

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53
[Calculer.]
Dans chaque cas,

u

v

sont deux représentants d'un même vecteur. Calculer les valeurs de

x

y .

u (- 3 5)

v (x - 6 y + 9)

u (11 - 13)

v (2 x + 5 3 - 2 y)

u (- 3 x - 2 5)

v (5 x - 10 5)

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54
[Représenter.]

On considère les points suivants dans un repère orthonormé

(O; i, j) .

1. Déterminer graphiquement les coordonnées des objets suivants.

Le point

G

tel que

AG (- 4 4) .

Le point

H

tel que

HE (33) .

Le point

M

tel que

AM = 4 i + 6 j .

Le point

N

tel que

ND = AB .

Le point

P

tel que

CP = DC .

2. Vérifier les réponses dans GeoGebra.

GeoGebra

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GeoGebra

[Représenter.]

Lors d'une régate, trois voiliers s'élancent. Les distances sont exprimées en milles marins (un mille marin équivalent à 1 852 m). Le côté d'un carreau mesure 2 milles marins.

1. Le voilier

B_{1}

parcourt 14 milles vers l'est. Tracer le vecteur

B_{1} B_{1}^{'}

correspondant à ce déplacement.

B_{2}

parcourt 8 milles en direction du nord-est puis 6 milles vers l'est. À l'aide d'un compas, tracer le vecteur

B_{2} B_{2}^{'}

correspondant à ce déplacement.

3. Inventer un déplacement de

B_{3}

suivant une ligne brisée, sachant qu'il parcourt 15 milles jusqu'à la ligne d'arrivée.

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56
[Calculer.]

On considère quatre points

E,

F,

G

H

dans un repère orthonormé

(O; i, j) .

Indiquer si

EFGH

est un parallélogramme dans les différents cas.

E (2; - 1), F (8; - 1), G (10; 3)

H (4; 3)

E (1; - 1), F (0; 2), G (8; - 3)

H (7; 0)

E (- 2, 06; - 1, 78),

F (0, 92; - 4, 84), G (9, 22; - 2, 08)

H (6, 1; 1, 3)

E (3; - 4),

F (14; - 4), G (10; 4)

H (- 1; 4)

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57
[Calculer.]

On considère les points suivants dans un repère orthonormé

(O; i, j) :

A (- 4; - 3), B (4; - 2), C (3; 2)

D (- 5; 1)

E (2; 6) .

Répondre aux questions à l'aide des vecteurs en expliquant la démarche (on pourra éventuellement

1. Quelle est la nature du quadrilatère

ABCD

2. Que représente le point

C

pour le segment

[BE]

3. Le point

C

est-il l'image du point

E

par la translation de vecteur

DA

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58
[Raisonner.]
On considère les points suivants dans un repère orthonormé

(O; i, j) :

A (3; 5),

C (7; - 9)

M (- 5; 5) .

P

est le point de coordonnées

(5; - 2) .

1. Calculer les coordonnées du point

M^{'},

symétrique de

M

par la symétrie de centre

P .

2. Vérifier que le point

C

est l'image de

P

par la translation du vecteur

AP .

Que peut-on en déduire sur

P

3. Démontrer que

AMCM^{'}

est un parallélogramme.

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59
[Calculer.]

On considère les points et les vecteurs suivants dans un repère

(O; i, j) .

Diagramme: vecteurs A, B, C, D, E et F représentés dans un plan orthonormé.

1. Calculer les coordonnées de

u

telles que

u = AB + CD .

Construire le point

I

tel que

OI = AB + CD .

2. Calculer les coordonnées de

v

telles que

v = AB + EF .

Construire le point

J

tel que

OJ = AB + EF .

3. Calculer les coordonnées de

w

telles que

w = CD + EF .

Construire le point

H

tel que

OH = CD + EF .

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60
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé

(O; i, j),

on considère les points

A (- 8; 3),

B (4; 2)

C (11; - 3) .

1. Calculer les coordonnées des vecteurs

u = AB + BC,

v = AB + AC

w = AC + BC .

2. Écrire chaque vecteur

u,

v

w

uniquement en fonction de

i

j .

3. Calculer les coordonnées du vecteur

z = u + v + w .

Que constate-t-on ?

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61
[Raisonner.]
Dans un repère

(O; i, j),

on considère les points

A (5; - 6),

B (4; 2)

D (4; - 7) .

Quelles sont les coordonnées du point

C (x; y)

sachant que le vecteur

u = AB + CD

a pour coordonnées

u (54)

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62
[Calculer.]
Dans un repère orthonormé

(O; i, j),

on considère les points

R (5; 1),

S (2; - 4),

T (- 3; 1),

U (1; 4)

V (3; 5) .

Calculer les coordonnées du point

W (x; y)

telles que

VW = RS + TU .

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63
[Représenter.]

Lors d'une course en mer, un voilier se déplace sous l'action combinée du vent et du courant marin associés aux vecteurs

v

c .

Le vecteur déplacement est la somme de

v

c .

Le départ est l'origine du repère.

Soit

M (x; y)

le point tel que

OM = v + c .

Le skipper souhaite connaître les coordonnées de

M .

1. Le repère ci-dessus est l'écran du GPS du voilier. Quelle difficulté rencontre-t-il pour localiser

M

2. Comment aider le skipper à calculer les coordonnées du point

M

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64
En Physique
[Calculer.]
On considère un objet soumis à trois forces. On a représenté cet objet dans GeoGebra par le point

A

et ces trois forces par les vecteurs

u,

v

w .

Graphique montrant une droite passant par (3,-1) et (7,1) dans un repère orthonormé.

1. Indiquer, parmi les trois vecteurs représentés, lequel est

u,

lequel est

v

et lequel est

w .

2. On dit que les forces se compensent lorsque

u + v + w = 0 .

Est-ce le cas ici ? Justifier.

3. Calculer l'intensité de chacune d'entre elles.

Aide

L'intensité d'une force est la norme du vecteur la représentant.

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65
[Représenter.]
On se place dans un repère

(O; i, j) .

La figure ci-dessous représente deux voitures

A

B

qui roulent selon les vecteurs vitesses

V_{A} = 90 i

V_{B} = 60 i .

La norme de chaque vecteur est la vitesse de chaque voiture en km/h.

1. Déterminer les coordonnées de chaque vecteur puis en déduire alors la vitesse de chaque voiture.

2. Un enfant assis sur la banquette arrière de la voiture

B

voit la voiture

A

le dépasser à une vitesse relative de $A$ par rapport à $B$ égale à

V_{A} - V_{B} .

Calculer cette vitesse ? Est-ce étonnant ?

3. Quelle est la vitesse relative de la voiture

A

par rapport à

B

lorsque

V_{A} = 90 i

V_{B} = - 60 i

? Détailler la situation dans ce cas.

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Ch. BStatistiques bivariées

Ch. CProbabilités conditionnelles

Ch. DValeur absolue

Nombres et calculs

Ch. 1Généralités sur les fonctions

Ch. 2Variations de fonctions

Ch. 3Fonctions affines

Ch. 4Fonctions de référence

Ch. 5Repérage et configuration dans le plan

Ch. 6Notion de vecteur

Ch. 7Colinéarité de vecteurs

Ch. 8Équations de droites

Ch. 9Informations chiffrées

Ch. 10Statistiques descriptives

Ch. 11Probabilités et échantillonnage

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Statistiques continues

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Valeur absolue

Ch. 1
Généralités sur les fonctions

Ch. 2
Variations de fonctions

Ch. 3
Fonctions affines

Ch. 4
Fonctions de référence

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Repérage et configuration dans le plan

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Notion de vecteur

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Colinéarité de vecteurs

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Équations de droites

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