Colinéarité de vecteurs

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Produit d'un vecteur \vec{u} par un réel \lambda : si le vecteur \vec{u} a pour coordonnées (x\: ; y) alors le vecteur \lambda\vec{u} a pour coordonnées (\lambda x\: ; \lambda y). Le sens de \lambda\vec{u} par rapport à celui de \vec{u} dépend du signe de \lambda. Cela permet de :

✔ calculer les coordonnées d'un vecteur défini par un produit ; ✔ déterminer les coordonnées d'un point défini par une relation vectorielle.

2

Colinéarité de vecteurs : deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires s'il existe un réel \lambda \neq 0 tel que \vec{u} = \lambda\vec{v} (donc si les coordonnées de \vec{u} sont proportionnelles à celles de \vec{v}). Cela permet de :

✔ montrer que des droites non confondues sont parallèles (deux vecteurs colinéaires sans point commun) ;
✔ montrer que des points sont alignés (deux vecteurs colinéaires avec un point commun).

3

Le déterminant de deux vecteurs \vec{u}(x\: ; y) et \vec{u}(x' \:; y') est \operatorname{det}(\vec{u}\: ; \vec{v})=x y^{\prime}-y x^{\prime}. Cela permet de :

✔ déterminer si deux vecteurs sont colinéaires (déterminant égal à 0) parfois plus rapidement qu'en utilisant la proportionnalité de vecteurs. Cela ne donne cependant pas le coefficient de colinéarité ;
✔ démontrer que deux droites sont parallèles ;
✔ démontrer que des points sont alignés.