Mathématiques 2de
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Chapitre 7
Entraînement 2
Applications
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Pour la suite des exercices, le plan est muni d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j})
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64
[Calculer.] On considère les points \mathrm{F}(6\: ; 5), \mathrm{G}(4\: ;-7) et \mathrm{H}(-3\: ;-49).
1. Ces points sont-ils alignés ?
2. Déterminer le nombre k tel que \overrightarrow{\mathrm{FG}}=k \overrightarrow{\mathrm{FH}}.
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[Chercher.]
\text{ABCD} est un parallélogramme de centre \text{O} . \text{E} et \text{F} sont les points tels que {\overrightarrow{\mathrm{AE}}=\dfrac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{AD}}} et { \overrightarrow{\mathrm{BF}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.}
1. Après avoir fait une figure, démontrer que \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\overrightarrow{\mathrm{FC}}.
2. En déduire que les points \text{O}, \text{E} et \text{F} sont alignés et que \text{O} est le milieu de [\text{EF}].
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[Analyser un problème.]
Une éclipse solaire se réalise lorsque la Lune passe entre la Terre et le Soleil. On supposera qu'il faut un alignement parfait pour obtenir une éclipse.
Dans un repère ayant pour origine le Soleil, on a relevé les coordonnées de la Terre \text{T} ainsi que celles de la Lune \text{L} : \mathrm{T}(120\: ;-90) et \mathrm{L}(119{,}7\: ;89{,}775). Une éclipse solaire a-t-elle lieu dans ce cas ?
Dans la vie professionnelle
L'astrophycien(ne) est un(e) scientifique de haut niveau qui étudie l'univers et les astres : planètes, comètes, étoiles, astéroïdes, etc. Pour cela, une observation avec des instruments de précision ainsi qu'une comparaison avec la théorie est d'abord nécessaire. Le vecteur d'excentricité peut alors être utilisé en mécanique céleste dans le cas du mouvement képlérien.
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67
[Calculer.] Dans chaque cas, les points \text{K}, \text{L} et \text{M} sont-ils alignés ?
1. \text{K}(2\: ; -5), \text{L}(8\:;3) et \text{M}(-10 \: ; 11)
2. \text{K}\left(\dfrac{1}{4}\: ;-\dfrac{3}{5}\right), \text{L}\left(\dfrac{5}{4}\: ; \dfrac{8}{5}\right) et \text{M}\left(1\: ; \dfrac{21}{20}\right)
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[Calculer.] Soient \text{A}(5 \:; 8), \text{B}(-3 \:; 7) , \text{C}(-2\: ; - 1) et \text{D}(14\: ; 1) dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Les droites (\text{AB}) et (\text{CD}) sont-elles parallèles ?
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69
[Chercher.] On considère les points suivants : \mathrm{P}(10\: ; 3), \mathrm{S}(-2\: ; 6), \mathrm{T}(3\: ;-1) et \mathrm{F}(7\: ;-2).
Quelle est la nature du quadrilatère \text{PSTF} ?
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70
Python
[Chercher.]
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui teste si trois points \mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right), \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right) et \mathrm{C}\left(x_{\mathrm{C}} ;\: y_{\mathrm{C}}\right) sont alignés.
2. Programmer cet algorithme avec Python.
2. Programmer cet algorithme avec Python.
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71
Python
[Chercher.]
\mathrm{A}\left(x_{\mathrm{A}}\: ; y_{\mathrm{A}}\right), \mathrm{B}\left(x_{\mathrm{B}}\: ; y_{\mathrm{B}}\right), \mathrm{C}\left(x_{\mathrm{c}}\: ; y_{\mathrm{c}}\right) et \mathrm{D}\left(x_{\mathrm{D}}\: ; y_{\mathrm{D}}\right) sont quatre points du plan.
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui teste si deux droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
2. Programmer cet algorithme avec Python.
1. Écrire un algorithme en langage naturel qui teste si deux droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
2. Programmer cet algorithme avec Python.
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72
[Chercher.]
1. Construire un triangle \text{ABC} ainsi que les points \text{B}' et \text{D} tels que \overrightarrow{\mathrm{BB}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{DA}}=\overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Montrer que les points \text{D}, \text{B} et \text{B}' sont alignés.
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73
[Raisonner.] On souhaite démontrer la proposition suivante : « Dans un repère orthonormé, les vecteurs non nuls \vec{u}(x\: ; y) et \vec{v}(x'\: ; y') sont colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul. »
1. On suppose que \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires. Après avoir rappelé la définition de la colinéarité de deux vecteurs, démontrer que \operatorname{det}(\vec{u}\: ; \vec{v})=0.
2. On suppose maintenant que \operatorname{det}(\vec{u}\: ; \vec{v})=0.
a. On se place dans le cas où au moins un des quatre nombres x , x' , y et y' est égal à 0. Démontrer que, dans ce cas, \vec{u} et \vec{v} sont colinéaires.
b. On suppose maintenant que tous les nombres x , x' , y et y' sont différents de 0. Démontrer que \dfrac{x}{x'}=\dfrac{y}{y'} et conclure.
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