1. Compléter les égalités suivantes avec des nombres réels.
a. \overrightarrow{\mathrm{ED}} = ... \overrightarrow{\mathrm{CJ}}
b. \overrightarrow{\mathrm{FH}} = ... \overrightarrow{\mathrm{KB}}
c. \overrightarrow{\mathrm{CD}} = ... \overrightarrow{\mathrm{AK}}
d. \overrightarrow{\mathrm{DE}} = ... \overrightarrow{\mathrm{FC}}

2. Compléter l'égalité \overrightarrow{\mathrm{GF}} =

\overrightarrow{\mathrm{AJ}} et en déduire le coefficient k tel que \overrightarrow{\mathrm{AJ}}=k \overrightarrow{\mathrm{GF}}.

3. Quelle est l'image du point \text{E} par la translation de vecteur 2 \overrightarrow{\mathrm{AD}} ?

4. Quelle est l'image du point \text{F} par la translation de vecteur -\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{EC}} ?

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Construire les points \text{C} et \text{D} tels que \overrightarrow{\mathrm{RC}}=\dfrac{1}{4} \vec{u} et \overrightarrow{\mathrm{DR}}=-\dfrac{3}{2} \vec{u}.

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43
[Chercher.]
Le pavage ci-dessous est un pavage pajarita. On peut l'observer dans les mosaïques du palais de l'Alhambra à Grenade.

1. Citer deux vecteurs égaux au vecteur \overrightarrow{\mathrm{NG}}.

2. Citer deux vecteurs égaux au vecteur 2\overrightarrow{\mathrm{NG}}.

3. Citer un vecteur égal au vecteur 2\overrightarrow{\mathrm{HS}}.

4. Citer deux vecteurs égaux au vecteur -3\overrightarrow{\mathrm{CW}}.

5. Quelle est l'image du point \text{G} par la translation de vecteur \dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{OR}} ?

6. Quelle est l'image du point \text{Q} par la translation de vecteur -\overrightarrow{\mathrm{BT}} ?

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44
[Représenter.]

1. Soient \text{A}, \text{O} et \text{N} trois points du plan alignés comme sur la figure ci-dessous. Écrire une phrase incluant ces trois points et le mot « homothétie ».

2. Construire le point \text{B} tel que \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{ON}} et le point \text{C} tel que \overrightarrow{\mathrm{BC}}=3 \overrightarrow{\mathrm{ON}}.

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45
[Représenter.]

1. Construire le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{AD}}=2 \vec{u}-\vec{v}.
2. Construire le point \text{F} tel que \overrightarrow{\mathrm{BF}}=-2 \vec{v}-3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
3. Construire le point \text{E} tel que \overrightarrow{\mathrm{CE}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{FB}}+\vec{v}-\dfrac{1}{3} \vec{u}.

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Soient \mathrm{V}(2 \:;-4), \mathrm{W}(9\: ; 4) et \mathrm{F}\left(\dfrac{1}{2} \:; \dfrac{3}{5}\right) trois points dans un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{VW}}, \overrightarrow{\mathrm{VF}}, 3 \overrightarrow{\mathrm{VW}} et 5 \overrightarrow{\mathrm{VW}}-2 \overrightarrow{\mathrm{VF}}.

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47
[Calculer.]
Soient \mathrm{A}(3\: ; 6), \mathrm{B}(-1 \:;-4) et \mathrm{C}(-5\: ; 3) trois points du plan.
1. Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} sont-elles proportionnelles ?

2. Que peut-on en déduire pour les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}} ?

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48
[Calculer.]
Soient \mathrm{K}(-2\: ; 3), \mathrm{L}\left(\dfrac{5}{2}\: ; \dfrac{4}{3}\right), \mathrm{M}\left(-\dfrac{17}{4}\: ; 1\right) et \mathrm{N}\left(\dfrac{19}{4}\: ;-\dfrac{7}{3}\right) quatre points du plan.
1. Les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{KL}} et \overrightarrow{\mathrm{MN}} sont-elles proportionnelles ?

2. Que peut-on en déduire pour les droites (\mathrm{KL}) et (\mathrm{MN}) ?

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49
Algo
[Calculer.]
On donne l'algorithme suivant.

\boxed{ \begin{array} { l } { \text {Definir TEST}\left(\text{x}_{\text{u}}, \text{y}_{\text{u}}, \text{x}_{\text{v}}, \text{y}_{\text{v}}\right):} \\ \quad \mathrm{e} \leftarrow \dfrac{\text{x}_{\text{v}}}{\text{x}_{\text{u}}} \\ \quad \mathrm{f} \leftarrow \dfrac{\text{y}_{\text{v}}}{\text{y}_{\text{u}}} \\ \quad \text {Si } \mathrm{e} = \mathrm{f} \text { alors} : \\ \quad \quad \text {retourner « VRAI »}\\ \quad \text {Sinon}: \\ \quad \quad \text {retourner « FAUX »}\\ \quad \text {Fin Si} \\ \text {Fin} \end{array} }

1. Faire fonctionner cet algorithme avec les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{15} \\ {-9}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{25} \\ {-15}\end{pmatrix}.

2. À quoi sert cet algorithme ?

3. Que se passe-t-il avec les vecteurs \vec{u}\begin{pmatrix}{0} \\ {-2}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{4} \\ {-3}\end{pmatrix} ?

4. Modifier l'algorithme pour éviter le problème rencontré à la question précédente.

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50
[Calculer.]
Soient \mathrm{A}(4\: ;-2), \mathrm{B}(-2\: ; 1) et \mathrm{C}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). Soit \text{D} le point de coordonnées \left(x_{\mathrm{D}} \:; y_{\mathrm{D}}\right) tel que \overrightarrow{\mathrm{CD}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Déterminer les coordonnées de \text{D}.

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51
[Calculer.]
Soient \mathrm{R}(-2\: ;6), \mathrm{S}(7\: ; 3) et \mathrm{T}(-1 \:; 6) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}) et \text{U} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{RU}}=-\dfrac{5}{2} \overrightarrow{\mathrm{ST}}.
Déterminer les coordonnées de \text{U}.

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52
[Calculer.]
Soient \mathrm{K}(2\: ;-3), \mathrm{L}(5\: ; 2), \mathrm{M}(-3 \:; 1) et \mathrm{N}(-2 \:; 6) quatre points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de \text{P} telles que \overrightarrow{\mathrm{KP}}=\overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{MN}}-3 \overrightarrow{\mathrm{LN}}.

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53
[Calculer.]
Soient \mathrm{R}(3\: ;-1), \mathrm{S}(2\: ; 4) et \mathrm{T}(-3 \:; -2) trois points dans un repère (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}).
Déterminer les coordonnées de \text{U} telles que \overrightarrow{\mathrm{US}}=5 \overrightarrow{\mathrm{RT}}-2 \overrightarrow{\mathrm{ST}}.

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54
[Calculer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). h est l'homothétie de centre \mathrm{A}(4\: ;-3) et de rapport 3. Soient \mathrm{B}(2\: ;-1) et \mathrm{C}(0\: ;-4) deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{B}' \mathrm{C}'}, image de \overrightarrow{\mathrm{BC}} par l'homothétie h.

2. Déterminer les coordonnées de \text{B}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer les coordonnées de \text{C}' (sans faire les calculs).

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55
[Calculer.]
On munit le plan d'un repère orthonormé (\text{O} ; \vec{i}, \vec{j}). h est l'homothétie de centre \mathrm{S}(-1\: ;6) et de rapport -\dfrac{1}{2}. \mathrm{T}(4\: ;5) et \mathrm{U}(-8\: ;16) sont deux points du plan.
1. Déterminer les coordonnées du vecteur \overrightarrow{\mathrm{T}' \mathrm{U}'}, image de \overrightarrow{\mathrm{TU}} par l'homothétie h.

2. Déterminer les coordonnées de \text{T}'.

3. Donner deux méthodes pour calculer celles de \text{U}' (sans faire les calculs).

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56
[Chercher.]
\mathrm{A}(3\:;-1), \mathrm{B}(0\: ; 4) et \mathrm{C}(2 \:; 8) sont trois points du plan.
On note \text{B}' et \text{C}' les images respectives de \text{B} et \text{C} par l'homothétie h de centre \text{A} et de rapport -\dfrac{1}{2}.
On note \text{B}'' et \text{C}'' les images respectives de \text{B}' et \text{C}' par l'homothétie k de centre \text{A} et de rapport 3.
Que peut-on dire des vecteurs \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{B}''\mathrm{C}''} ?

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57
[Représenter.]
On considère un parallélogramme \text{KLMN} de centre \text{I}. Faire une figure puis :
1. construire le point \text{H} tel que \overrightarrow{\mathrm{LH}}=\dfrac{4}{3} \overrightarrow{\mathrm{KL}} \: ;
2. construire le point \text{D} tel que \overrightarrow{\mathrm{ID}}=-\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{KN}}\: ;
3. construire le point \text{V} tel que \overrightarrow{\mathrm{VL}}=\dfrac{5}{4} \overrightarrow{\mathrm{MN}}.

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58
[Calculer.]
Recopier et compléter les égalités suivantes.
1. 3 \overrightarrow{\mathrm{BC}}+3 \overrightarrow{\mathrm{CD}}=3(\vec{\ldots}+\vec{\ldots})=\vec{\ldots}

2. 5 \overrightarrow{\mathrm{MP}}-3 \overrightarrow{\mathrm{MS}}=5(\overrightarrow{\ldots \mathrm{R}}+\vec{\ldots})-3(\vec{\ldots}+\overrightarrow{\mathrm{K} \ldots})

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59
[Calculer.]
Simplifier les expressions suivantes sous la forme d'une somme de deux vecteurs.
1. \overrightarrow{\mathrm{MC}}+2 \overrightarrow{\mathrm{KL}}+2 \overrightarrow{\mathrm{LS}}-\overrightarrow{\mathrm{TC}}

2. \overrightarrow{\mathrm{KL}}+3 \overrightarrow{\mathrm{LM}}-2 \overrightarrow{\mathrm{RM}}

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60
[Calculer.]

Soient \text{A}, \text{B}, \text{C}, \text{D} et \text{E} cinq points du plan. \text{M} est le point tel que :

\overrightarrow{\mathrm{AM}}=\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CE}}+\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DB}}.

1. Démontrer que :
\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AE}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CB}}-\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DC}}+\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\dfrac{1}{4} \overrightarrow{\mathrm{CE}}+\dfrac{2}{8} \overrightarrow{\mathrm{DB}}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

2. Que peut-on en déduire pour le point \text{M} ?

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Les vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et \vec{s} sont représentés dans le repère ci-dessous.

1. Lire graphiquement les coordonnées des vecteurs \vec{u}, \vec{v}, \vec{w}, \vec{k}, \vec{r} et \vec{s}.

2. Quels vecteurs sont colinéaires ? Déterminer la relation liant ces vecteurs.

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62
[Chercher.]

Soient \vec{m} et \vec{n} deux vecteurs du plan.
Les vecteurs -12 \vec{m}+4 \vec{n} et 9 \vec{m}-3 \vec{n} sont-ils colinéaires ?

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63
[Calculer.]
Dans chaque cas, déterminer le nombre réel a tel que \vec{u} et \vec{v} soient colinéaires.

1. \vec{u}\begin{pmatrix}{5} \\ {-8}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {25}\end{pmatrix}

2. \vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{5}} \\ {\dfrac{-7}{12}}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{\dfrac{-2}{7}} \\ {a}\end{pmatrix}

3. \vec{u}\begin{pmatrix}{\dfrac{3}{4}} \\ {\dfrac{1}{6}}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{a} \\ {\dfrac{-2}{3}}\end{pmatrix}

4. \vec{u}\begin{pmatrix}{7} \\ {3}\end{pmatrix} et \vec{v}\begin{pmatrix}{2a+5} \\ {-3a+2}\end{pmatrix}

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