Mathématiques 2de
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Synthèse
Exercices de synthèse
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74
[Chercher.]
Reproduire la figure ci‑dessous dans le module Geogebra ci‑après.
1. Construire les points \text{E} et \text{F} tels que :
\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
3. Que peut-on en déduire à propos des droites (\mathrm{EF}) et (\mathrm{BC}) ?
1. Construire les points \text{E} et \text{F} tels que :
\overrightarrow{\mathrm{AE}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}} et \overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{EF}}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
3. Que peut-on en déduire à propos des droites (\mathrm{EF}) et (\mathrm{BC}) ?
GeoGebra
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75
[Chercher.]
Reproduire la figure ci‑dessous dans le module Geogebra ci‑après.
1. Construire le point \text{F} tel que : \overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Quelle relation existe-t-il entre les points \text{B}, \text{A} et \text{F} ? Justifier.
1. Construire le point \text{F} tel que : \overrightarrow{\mathrm{AF}}=2 \overrightarrow{\mathrm{AC}}-2 \overrightarrow{\mathrm{BC}}.
2. Quelle relation existe-t-il entre les points \text{B}, \text{A} et \text{F} ? Justifier.
GeoGebra
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76
[Chercher.] Soit \text{ABC} un triangle quelconque dans un repère non orthogonal.
1. Déterminer graphiquement les coordonnées de \text{A}, \text{B} et \text{C} .
2. Calculer les coordonnées de \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \overrightarrow{\mathrm{AC}}.
3. On souhaite construire le point \text{N} tel que 2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BN}}+\overrightarrow{\mathrm{CN}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}. Montrer que le point \text{N} a pour coordonnées (2 \:; 0).
4. Démontrer que les droites (\text{AB}) et (\text{CN}) sont parallèles.
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77
[Chercher.]
Le plan est muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} ; \vec{i}, \vec{j}). On considère les points suivants : \mathrm{A}(2\: ; 1), \mathrm{B}(-2\: ; 3), \mathrm{C}(-1\: ;-2) et \mathrm{D}(-3 \:;-1).
1. Les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{AC}} et \overrightarrow{\mathrm{BD}} sont-ils colinéaires ? Justifier.
2. Démontrer que le quadrilatère \text{ABDC} est un trapèze.
3. Soit \text{E}, le point de coordonnées (3\: ; - 4).
a. Démontrer que les coordonnées du milieu \text{M} de [\mathrm{AB}] sont (0\: ; 2).
b. Les points \text{D}, \text{C} et \text{E} sont-ils alignés ? Justifier.
c. Soit \text{F}, le point défini par \overrightarrow{\mathrm{AF}}=\dfrac{1}{3} \overrightarrow{\mathrm{AC}}. Calculer les coordonnées du point \text{F}.
d. Les points \text{M}, \text{F} et \text{E} sont-ils alignés ? Justifier.
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78
[Chercher.] \text{ABCD} est un parallélogramme de centre \text{O}.
\text{E} est le point tel que \overrightarrow{\mathrm{AE}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AB}} et \text{F} le point tel que \overrightarrow{\mathrm{CF}}=-2 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{1}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
1. Démontrer, en utilisant la relation de Chasles, que \overrightarrow{\mathrm{FE}}=4 \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{4}{5} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
2. Démontrer de même que \overrightarrow{\mathrm{FO}}=\dfrac{3}{2} \overrightarrow{\mathrm{AB}}-\dfrac{3}{10} \overrightarrow{\mathrm{AD}}.
3. En déduire que les points \text{F}, \text{O} et \text{E} sont alignés.
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79
Démo
[Raisonner.]
\text{K}, \text{L} et \text{M} sont trois points alignés.
\text{K}', \text{L}' et \text{M}' sont leurs images respectives par l'homothétie h de centre \text{P} et de rapport k .
Montrer que les points \text{K}', \text{L}' et \text{M}'sont alignés.
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80
En SVT
[Chercher.]
Nous allons étudier le mouvement des plaques lithosphériques pacifique et nord-américaine ainsi que celui des plaques sud-américaine et africaine.
On dit qu'il existe un coulissage entre deux plaques lithosphériques lorsqu'elles se déplacent l'une contre l'autre dans des sens opposés.
On dit qu'il existe un coulissage entre deux plaques lithosphériques lorsqu'elles se déplacent l'une contre l'autre dans des sens opposés.
Quelques coordonnées ont pu être récoltées.
1. Faille de San Andreas.
a. Soient \vec{u} le vecteur représentant le déplacement de la plaque pacifique et \vec{v} celui de la plaque nord-américaine. \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?
b. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre ces deux plaques ? Justifier.
2. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre les plaques sud-américaine et africaine ? Justifier.
- Le point \text{A} se situant sur la plaque pacifique s'est déplacé de (34{,}8 \:; - 120{,}3) à (34{,}5\: ; - 119{,}9).
- Le point \text{B} se situant sur la plaque nord-américaine s'est déplacé de (35{,}7\: ; - 117{,}5) à (36{,}9 \:; - 119{,}1).
- Les points \text{C} et \text{D} se situant sur la frontière entre les plaques pacifique et nord-américaine ont pour coordonnées (35{,}6\: ; - 119{,}4) et (35\: ; - 118{,}6) .
- Le point \text{E} se situant sur la plaque sud-américaine s'est déplacé de (-11{,}6 \:; - 17{,}9) à (-11{,}1\: ; - 16{,}9) .
- Le point \text{F} se situant sur la plaque africaine s'est déplacé de (-6{,}5 \:; - 8{,}7) à (-7{,}5\: ; - 10,7) .
- Les points \text{G} et \text{H} se situant sur la frontière entre les plaques africaine et sud-américaine ont pour coordonnées (-9{,}4\: ; - 13{,}5) et (-10{,}2 \:; - 13{,}1).
1. Faille de San Andreas.
a. Soient \vec{u} le vecteur représentant le déplacement de la plaque pacifique et \vec{v} celui de la plaque nord-américaine. \vec{u} et \vec{v} sont-ils colinéaires ?
b. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre ces deux plaques ? Justifier.
2. Y a-t-il un mouvement de coulissage entre les plaques sud-américaine et africaine ? Justifier.
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Club de Maths
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81
Défi
Deux poids sont fixés au bout d'une tige, dont on suppose que la masse est négligeable, en \text{A}(2 \:; 3) et en \text{B}(8\: ; 3).
Le poids en \text{A} a une masse non nulle m_\text{A} et le poids en \text{B} a une masse non nulle m_\text{B}. Le but est de déterminer les coordonnées du point \text{E} pour que la tige reste en équilibre.
La loi d'Archimède affirme alors qu'un tel point d'équilibre \text{E} vérifie la relation :
m_{\mathrm{A}} \times \mathrm{AE}=m_{\mathrm{B}} \times \mathrm{BE}.
1. Déterminer une relation vectorielle entre \overrightarrow{\mathrm{AE}} et \overrightarrow{\mathrm{BE}}.
2. Cas particulier : déterminer les coordonnées de \text{E} lorsque m_{\mathrm{A}}=40 et m_{\mathrm{B}}=20.
3. Cas général : exprimer les coordonnées de \text{E} en fonction des masses m_{\mathrm{A}} et m_{\mathrm{B}} des poids.
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82
Défi
Trois poids sont fixés aux sommets \text{A}(2\: ; 3), \text{B}(8\: ; 3) et \text{C}(4\: ; 6) d'une plaque de métal. Ces poids ont une masse non nulle m_\text{A}, m_\text{B} et m_\text{C}.
En s'inspirant du défi 81, exprimer les coordonnées du point d'équilibre \text{E} en fonction de m_\text{A}, m_\text{B} et m_\text{C}. On suppose ici aussi que la masse de la plaque est négligeable.
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August Ferdinand Möbius fut l'élève de Carl Friedrich Gauss (célèbre mathématicien, astronome, physicien). Il effectua des recherches en mathématiques en parallèle de son travail d'astronome.
On lui attribue, ainsi qu'à Chasles, le concept de segment orienté, noté \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Son traité du calcul barycentrique est le point de départ de nombreux calculs vectoriels sur le barycentre qui rejoindront le concept, en sciences physiques, de centre de gravité.
Il a par ailleurs été rendu célèbre par le ruban de Möbius (voir photo) que l'on retrouve dans de nombreux logos.
On lui attribue, ainsi qu'à Chasles, le concept de segment orienté, noté \overrightarrow{\mathrm{AB}}.
Son traité du calcul barycentrique est le point de départ de nombreux calculs vectoriels sur le barycentre qui rejoindront le concept, en sciences physiques, de centre de gravité.
Il a par ailleurs été rendu célèbre par le ruban de Möbius (voir photo) que l'on retrouve dans de nombreux logos.
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