70
[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul.
Justifier que si un graphe simple d'ordre n (c'est-à-dire un graphe ayant au plus une arête entre deux sommets et sans boucle) est complet, alors chaque sommet est de degré n - 1.

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[Modéliser.]

Pour se rendre de Paris à New York en avion, un voyageur a plusieurs choix de vols parmi lesquels on trouve :

→ des vols directs

Paris - New York

→ des vols avec une escale

Paris - Londres - New York
Paris - Zurich - New York
Paris - Lisbonne - New York
Paris - Boston - New York

→ des vols avec deux escales

Paris - Zurich - Toronto - New York
Paris - Zurich - Montréal - New York
Paris - Montréal - Ottawa - New York
Paris - Madrid - Londres - New York

Représenter ces différents vols sur un graphe orienté, dont les sommets seront les villes par lesquelles transite le voyageur.

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72
[Modéliser.]

À la fin de la seconde, un élève orienté en première générale a le choix de suivre ou non l'enseignement de spécialité mathématiques.
Un élève n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité en première peut suivre l'enseignement facultatif mathématiques complémentaires en terminale.
Un élève ayant suivi l'enseignement de spécialité en première peut l'abandonner et ne plus faire de mathématiques, l'abandonner et suivre l'enseignement facultatif mathématiques complémentaires ou le poursuivre en terminale.
S'il poursuit l'enseignement de spécialité en terminale, il peut choisir de suivre l'enseignement facultatif mathématiques expertes.
Représenter les différents parcours en mathématiques possibles d'un lycéen par un graphe, dont les sommets seront les différents enseignements possibles.

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[Raisonner.]
1. Montrer que la somme des degrés des sommets d'un graphe est égale au double du nombre d'arêtes.

2. a. Un octogone et toutes ses diagonales forment un graphe. Quel est le nombre d'arêtes de ce graphe ?

b. Qu'en est‑il si l'on considère un polygone qui a 1 000 côtés ?

3. Un club d'échecs souhaite organiser un tournoi pour quinze joueurs. Lors des phases de sélection, on souhaite que chaque joueur en affronte cinq autres.
Est‑ce possible ?

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74
[Modéliser.]
Le graphe ci‑dessous représente les autoroutes entre les principales villes de la région Hauts‑de‑France :
Abbeville \text{(A)}, Boulogne‑sur‑Mer \text{(B)}, Calais \text{(C)}, Dunkerque \text{(D)}, Lens \text{(E)}, Beauvais \text{(I)}, Lille \text{(L)}, Amiens \text{(M)}, Laon \text{(N)}, Saint‑Omer \text{(O)}, Péronne \text{(P)}, Saint‑Quentin \text{(Q)}, Senlis \text{(S)} et Valenciennes \text{(V)}.

1. Quel est l'ordre de ce graphe ?

2. a. Quels sont les sommets de plus haut degré ?

b. Quels sont les sommets de plus petit degré ?

3. Les sommets \text{L} et \text{E} sont‑ils adjacents ?

4. Ce graphe est‑il complet ? Justifier.

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[Représenter.]

L'illustration ci‑après représente la ville de Königsberg au XVIII^e siècle et ses sept ponts.

Plan ancien de Königsberg: trajet (A-B-C-D) sur la rivière traversant la ville. Illustration historique.

En se trouvant dans l'un des quartiers \text{A}, \text{B}, \text{C} ou \text{D}, on peut accéder à un autre quartier en empruntant l'un des ponts.

Histoire des maths

C'est Euler qui, en 1759, rapporte cette configuration et le problème suivant : « Peut‑on arranger son parcours de telle sorte que l'on passe sur chaque pont, et que l'on ne puisse y passer qu'une seule fois ? ». Il étudie le problème en toute généralité et montre qu'il n'a, dans ce cas, pas de solution.

1. Représenter la situation par un graphe.

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2. Ce graphe est‑il complet ? Justifier.

3. Ce graphe est‑il connexe ? Justifier.

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[Chercher.]
D'après bac ES, Centres étrangers, juin 2019
Un restaurateur se fournit auprès de cinq producteurs locaux.
Le graphe ci‑dessous représente la situation géographique du restaurateur et de ses fournisseurs, les arêtes correspondant au réseau routier et les sommets aux producteurs : éleveur \text{(E)}, fromager \text{(F)}, maraîcher \text{(M)}, pisciculteur \text{(P)}, restaurateur \text{(R)} et vigneron \text{(V)}.

1. Quel est l'ordre de ce graphe ?

2. a. Quel est le degré du sommet \text{P} ?

b. Citer un sommet de degré inférieur ou égal à 3.

c. Citer deux sommets de degré impair.

3. Citer deux sommets adjacents et deux sommets qui ne sont pas adjacents.

4. Ce graphe est-il complet ? Justifier.

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77
[Modéliser.]
Le plan d'un parc zoologique est donné ci-dessous.

1. Modéliser le plan du parc zoologique par un graphe.

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2. Quel est l'ordre de ce graphe ?

3. Quel est le sommet de plus petit degré ?

4. Ce graphe est‑il complet ? Justifier.

5. Ce graphe est‑il connexe ? Justifier.

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