Notion de matrice

40

1. Écrire le système suivant sous forme matricielle :\left\{\begin{array}{ccc} 5 x+3 y+4 z & = & -2 \\ 2 x+3 y+z & = & -2 \\ x+y+z & = & -2 \end{array}\right..

2. Résoudre le système.

41

Soit \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{array}\right).

1. Montrer que \mathrm{A}^{2}=2 \mathrm{I}_{3}-\mathrm{A}.

2. En déduire que \mathrm{A} est inversible et déterminer \mathrm{A}^{-1}.

42

Soit \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{A}^{2}, \mathrm{A}^{3} et \mathrm{A}^{4}.

2. En déduire que \text{A} est inversible et déterminer \mathrm{A}^{-1}.

44

[Modéliser.]
Un lycée commande régulièrement des feutres pour tableau blanc au prix de 0,90 € l'unité, des ramettes de 500 feuilles A4 à 4 € l'unité, des ramettes de feuilles A3 à 9 € l'unité et des enveloppes à 11,50 € le lot de 500.
On définit la matrice colonne \mathrm{P}=\left(\begin{array}{c} 0{,}90 \\ 4 \\ 9 \\ 11{,}50 \end{array}\right) qui donne le prix de ces fournitures.

1. Pour la rentrée, le lycée Jean Jaurès commande 750 feutres, 50 ramettes de feuilles A4, 30 ramettes de feuilles A3 et 2 000 enveloppes.
a. Traduire ces quantités par une matrice ligne \text{Q}.

b. Quel produit doit‑on effectuer pour calculer le coût total de la commande ?

2. Le fournisseur reçoit les commandes de trois lycées : Jean Jaurès, Léonard de Vinci et Jean Lurçat.
Les quantités commandées sont respectivement données par la matrice \mathrm{R}=\left(\begin{array}{cccc} 750 & 50 & 30 & 4 \\ 1\;000 & 80 & 40 & 8 \\ 1\;500 & 100 & 80 & 12 \end{array}\right).
a. À quoi le coefficient 1 000 correspond‑il ?
Interpréter également le coefficient 100.

b. Calculer, à l'aide d'un produit matriciel, la facture pour chacun des lycées.

43

[Modéliser.]
Une agence de voyage réserve des vols vers trois destinations (la Guadeloupe, la Martinique et la Réunion) auprès de deux compagnies aériennes (Air Tourterelle et Air Pigeon).
Le nombre de passagers pour la première semaine d'octobre est donné par la matrice \mathrm{P}_{1}=\left(\begin{array}{ccc} 180 & 120 & 70 \\ 220 & 105 & 90 \end{array}\right).
Les deux lignes correspondent respectivement aux fréquentations des vols d'Air Tourterelle et d'Air Pigeon alors que les trois colonnes correspondent respectivement aux vols en direction de la Guadeloupe, de la
Martinique et de la Réunion.

1. Que représente le coefficient 105 de la matrice \mathrm{P}_{1} ?

2. Pour la deuxième semaine d'octobre, la fréquentation diminue de quinze passagers pour chaque vol.
a. Écrire la matrice \mathrm{P}_{2} correspondante.

b. Calculer \mathrm{P}_{1}+\mathrm{P}_{2}. À quoi cette matrice correspond‑elle ?

3. Pour la troisième semaine d'octobre, la fréquentation augmente de 10 % pour chaque vol par rapport à la deuxième semaine.
Écrire la matrice \mathrm{P}_{3} correspondante (on arrondira au besoin les coefficients à l'unité inférieure).

4. Avec les vacances d'automne, la fréquentation des vols d'Air Tourterelle augmente de 20 % et celle d'Air Pigeon de 25 % par rapport à la troisième semaine.
Écrire la matrice \mathrm{P}_{4} correspondante en arrondissant à l'unité inférieure.

5. a. Déterminer la matrice \text{P} correspondant au total de passagers pour chaque vol sur l'ensemble du mois d'octobre.

b. Durant les quatre premières semaines du mois d'octobre, combien compte‑t‑on de passagers ayant voyagé en Guadeloupe avec la compagnie Air Tourterelle ? Avec Air Pigeon ?

45

[Calculer.]
Trouver les coefficients manquants.

1. \left(\begin{array}{ccc} -1 & \color{coral}? & 7 \\ \color{coral}? & 5 & -2 \\ 4 & -6 & \color{coral}? \end{array}\right)+\left(\begin{array}{ccc} \color{coral}? & 2 & 5 \\ -5 & 3 & \color{coral}? \\ -7 & \color{coral}? & 9 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -3 & 12 \\ -10 & 8 & 12 \\ -3 & -6 & 5 \end{array}\right)

2. \left(\begin{array}{ccc} -2 & \color{coral}? & 4 \\ 2 & 3 & -1 \\ 1 & 2 & 5 \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ \color{coral}? \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 9 \\ \color{coral}? \\ 20 \end{array}\right)

46

[Calculer.]
Soient a et b deux réels et \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} a & 1 \\ b & 2 \end{array}\right).

1. Quelle relation existe‑t‑il entre a et b lorsque \text{A} n'est pas inversible ?

2. Déterminer a et b tels que \left\{\begin{array}{l} \text { A soit inversible } \\ \mathrm{A}^{-1}=\mathrm{A} \end{array}\right..

47

[Raisonner.]
On considère la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 2 & 3 \\ -1 & -1 \end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{A}^{2} et prouver que \mathrm{A}^{3}=-\mathrm{I}_{2}.

2. Exprimer, pour tout entier naturel n, \mathrm{A}^{3 n}, \mathrm{A}^{3 n+1} et \mathrm{A}^{3 n+2} en fonction de n.

48

[Raisonner.]
On considère les matrices \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array}\right) et \mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{array}\right).

1. Calculer \mathrm{A} \times \mathrm{B} et \mathrm{A} \times \mathrm{C}.

2. En déduire que \text{A} n'est pas inversible.

49

[Calculer.]
1. On définit la matrice \mathrm{A}=\left(\begin{array}{ll} 3 & 4 \\ 5 & 7 \end{array}\right).
a. Justifier que la matrice \text{A} est inversible.

b. Déterminer les coefficients a, b, c et d de la matrice \mathrm{A}^{-1}=\left(\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right).

2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. \left\{\begin{array}{l} 3 x+4 y=2 \\ 5 x+7 y=4 \end{array}\right.

b. \left\{\begin{array}{ccc} 7 x-4 y & = & -21 \\ -5 x+3 y & = & 11 \end{array}\right.

50

[Calculer.]

1. Vérifier que les matrices \text{A} =\left(\begin{array}{ccc} 1 & -2 & -2 \\ 2 & -3 & -2 \\ -2 & 4 & 3 \end{array}\right) et \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{array}\right) sont inverses l'une de l'autre.

2. En déduire une écriture matricielle et une solution des systèmes suivants.
a. \left\{\begin{array}{ccc} x-2 y-2 z & = & 4 \\ 2 x-3 y-2 z & = & 5 \\ -2 x+4 y+3z & = & -3 \end{array}\right.

b. \left\{\begin{array}{c} x+2 y+2 z&=& -7 \\ 2 x+y+2 z&=& 12 \\ -2 x-z&=& 9 \end{array}\right.

57

[Représenter.]
On considère, dans le repère orthonormé direct (\mathrm{O}\,; \overrightarrow{i}\,, \overrightarrow{j}), le point \mathrm{A}(2\,; 4).


1. a. Placer dans le repère ci‑dessus le point \mathrm{A}^{\prime}, symétrique de \mathrm{A} par rapport à l'axe des ordonnées. Déterminer graphiquement ses coordonnées.

b. Retrouver les coordonnées de \mathrm{A}^{\prime} à l'aide d'un calcul matriciel.

2. Soit \mathrm{A}^{\prime \prime} l'image du point \mathrm{A} par la rotation de centre \text{O} et d'angle \frac{\pi}{4}.
Déterminer les coordonnées de \mathrm{A}^{\prime \prime} à l'aide d'un calcul matriciel.

3. On considère le point \mathrm{C}(3\,; 1).
a. Déterminer par le calcul les coordonnées de \mathrm{C}^{\prime}, image de \text{C} par la rotation de centre \text{A} et d'angle \frac{\pi}{2}.

b. Placer le point \mathrm{C}^{\prime} dans le repère ci‑dessus et vérifier la cohérence du résultat obtenu.

59

[Raisonner.]
Soient \mathrm{M} et \mathrm{M}^{\prime} deux matrices de même taille.
Soient \alpha et \beta sont deux nombres réels.
Démontrer les propriétés suivantes :

1. 1 \times \mathrm{M}=\mathrm{M}

2. (\alpha+\beta) \mathbf{M}=\alpha \mathbf{M}+\beta \mathbf{M}

3. \alpha\left(\mathbf{M}+\mathbf{M}^{\prime}\right)=\alpha \mathbf{M}+\alpha \mathbf{M}^{\prime}

61

[Raisonner.]
Soit \text{A} une matrice carrée inversible d'ordre n.
Montrer qu'il existe une unique matrice inverse de \text{A}.

63

[Calculer.]
Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1.
On considère la matrice carrée \mathrm{J}_{n} d'ordre n formée uniquement de 1.

1. Exprimer \mathrm{J}_{n}^{2} en fonction de n et de \mathrm{J}_{n}.

2. En déduire que \mathrm{J}_{n} n'est pas inversible.

62

[Raisonner.]
Soit n un entier naturel non nul.
Soient \mathrm{D}=\operatorname{Diag}\left(d_{1} ; \ldots ; d_{n}\right) et \mathrm{D}^{\prime}=\operatorname{Diag}\left(d_{1}^{\prime} ; \ldots ; d_{n}^{\prime}\right) deux matrices diagonales d'ordre n.

1. a. Calculer \mathrm{DD}^{\prime} et \mathrm{D}^{\prime} \mathrm{D}.

b. On suppose que tous les coefficients diagonaux de \text{D} sont non nuls. Montrer alors que \text{D} est inversible et déterminer son inverse.

2. Montrer que si \text{D} est inversible, alors tous ses éléments diagonaux sont non nuls (on pourra raisonner par l'absurde).

64

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses (si la réponse est fausse, donner un contre‑exemple) :

1. Pour toutes matrices \text{A} et \text{B}, \text{A + B} existe.

2. Pour toute matrice carrée \text{A} d'ordre n, \mathrm{A} \times 0_{n}=\mathrm{A}.

3. Pour toute matrice carrée \text{A} d'ordre n, \mathrm{A} \times \mathrm{I}_{n}=\mathrm{A}.

4. Pour toutes matrices carrées \text{A} et \text{B} d'ordre n, \mathrm{A} \times \mathrm{B} \neq \mathrm{B} \times \mathrm{A}.

66

[Calculer.]
1. Soit \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{array}\right).

a. Démontrer qu'il existe deux réels \alpha et \beta tels que :

\mathrm{A}^{2}=\alpha \mathrm{A}+\beta \mathrm{I}_{3}.

b. En déduire que la matrice \text{A} est inversible et exprimer \mathrm{A}^{-1} en fonction de \text{A} et \mathrm{I}_{3}.

c. Déterminer la matrice \mathrm{A}^{-1}.

2. Soit \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \end{array}\right).

a. Calculer \left(\mathrm{A}-\mathrm{I}_{3}\right)^{3}.

b. En déduire que \text{A} est inversible et préciser \mathrm{A}^{-1}.

65

[Calculer.]
Soient \text{A} et \text{B} deux matrices carrées non nulles d'ordre n telles que \mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{I}_{n}.
Soit \text{M} une matrice carrée d'ordre n telle qu'il existe deux réels non nuls et distincts \lambda et \mu tels que :


1. a. Montrer que :

\left(\mathrm{M}-\lambda \mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\mu \mathrm{I}_{n}\right)=\left(\mathrm{M}-\mu \mathrm{I}_{n}\right)\left(\mathrm{M}-\lambda \mathrm{I}_{n}\right)=0_{n}.

b. En déduire que \mathrm{AB}=\mathrm{BA}=0_{n} et que \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A} et \mathrm{B}^{2}=\mathrm{B}.

2. Démontrer que, pour tout p \in \mathbb{N}, on a :

\mathrm{M}^{p}=\lambda^{p} \mathrm{A}+\mu^{p} \mathrm{B}.

3. Application :
Soient \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cc} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{array}\right), \mathrm{B}=\left(\begin{array}{cc} -2 & 6 \\ -1 & 3 \end{array}\right) et \mathrm{M}=\left(\begin{array}{cc} 8 & -18 \\ 3 & -7 \end{array}\right)

a. Déterminer \lambda et \mu tels que \mathrm{M}=\lambda \mathrm{A}+\mu \mathrm{B} et \mathrm{M}^{2}=\lambda^{2} \mathrm{A}+\mu^{2} \mathrm{B}.

b. En déduire \mathrm{M}^{p} pour tout p \in \mathbb{N}.