D'après bac ES, Métropole, juin 2018
Un parcours sportif est
composé d'un banc pour
abdominaux \text{(B)}, d'un
mur d'escalade \text{(M)}, d'une
poutre d'équilibre \text{(P)},
d'un tunnel \text{(T)} et d'une
échelle suspendue \text{(E)}. Le
graphe ci‑dessous indique
les différents parcours
envisageables.
1. Est‑il possible de suivre un parcours en passant par toutes les étapes ?
2. Déterminer la matrice d'adjacence \text{M} de ce graphe où les sommets sont classés dans l'ordre alphabétique.
3. Déterminer \mathrm{M}^{3} puis en déduire le nombre de chemins de longueur 3 reliant \text{B} à \text{E}.
4. Le responsable souhaite ajouter une barre de traction
notée
\text{Z}. De nouveaux sentiers sont construits et de
nouveaux parcours sont alors possibles.
La matrice d'adjacence
\text{N}, associée au graphe
représentant les nouveaux parcours, dans laquelle les
sommets sont classés par ordre alphabétique est :
\mathrm{N}=\left(\begin{array}{llllll}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0
\end{array}\right)
Compléter le graphe précédent en ajoutant les arêtes
nécessaires pour que le graphe obtenu corresponde à
la matrice
\text{N}.