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Partie 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Nombres entiers
Ch. 2
Calcul numérique
Ch. 3
Calcul littéral
Ch. 4
Équations
Partie 2 : Organisation et gestion de données, fonctions
Ch. 5
Notion de fonction
Ch. 6
Fonctions affines
Ch. 7
Situations de proportionnalité
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Partie 3 : Espace et géométrie
Ch. 10
Théorème de Thalès et triangles semblables
Ch. 11
Trigonométrie dans le triangle rectangle
Ch. 12
Transformations dans le plan et leurs effets
Ch. 13
Géométrie dans l'espace
Partie 4 : Mesures et grandeurs
Ch. 14
Mesures et grandeurs
Annexes
Scratch
Dossier brevet
Rappels, Index, Compétences
Révisions Genially
Calcul littéral
Plan de travail
Chapitre 4
Cours et méthodes
Équations
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1
Résoudre une équation du premier degré
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Définitions
a, b, c et d désignent quatre nombres connus et x désigne l'inconnue.
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité pouvant s'écrire sous la forme ax + b = cx + d.
ax + b est appelé le membre de gauche et cx + d est appelé le membre de droite.
Résoudre une équation c'est trouver, si elles existent, toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité pouvant s'écrire sous la forme ax + b = cx + d.
ax + b est appelé le membre de gauche et cx + d est appelé le membre de droite.
Résoudre une équation c'est trouver, si elles existent, toutes les valeurs de l'inconnue pour lesquelles l'égalité est vérifiée.
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Propriétés
1. Une égalité reste vraie lorsqu'on ajoute (ou soustrait) un même nombre à ses deux membres.
Autrement dit, pour tous nombres a, b et k, si a = b alors a {\color{#2190A0} \:+ \:k} = b {\color{#2190A0} \:+ \:k} et a {\color{#2190A0} \:- \:k} = b {\color{#2190A0} \:- \:k}.
2. Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre.
Autrement dit, pour tous nombres a, b et k, si a = b alors a {\color{#2190A0} \: \times \:k} = b {\color{#2190A0} \: \times \:k} et a {\color{#2190A0} \: \div \:k} = b {\color{#2190A0} \: \div \:k} (avec k \neq 0).
Autrement dit, pour tous nombres a, b et k, si a = b alors a {\color{#2190A0} \:+ \:k} = b {\color{#2190A0} \:+ \:k} et a {\color{#2190A0} \:- \:k} = b {\color{#2190A0} \:- \:k}.
2. Une égalité reste vraie lorsqu'on multiplie (ou divise) ses deux membres par un même nombre.
Autrement dit, pour tous nombres a, b et k, si a = b alors a {\color{#2190A0} \: \times \:k} = b {\color{#2190A0} \: \times \:k} et a {\color{#2190A0} \: \div \:k} = b {\color{#2190A0} \: \div \:k} (avec k \neq 0).
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Exemple
On souhaite résoudre l'équation 5x + 23 = -3x + 7.
On soustrait 23 à chaque membre afin d'isoler le terme en x à gauche : 5x = -3x - 16.
On ajoute 3x à chaque membre afin d'isoler le terme sans x à droite : 8x = -16.
On divise chaque membre par 8 afin d'isoler x à gauche : x = -2.
La solution de l'équation 5x + 23 = -3x + 7 est -2.
On soustrait 23 à chaque membre afin d'isoler le terme en x à gauche : 5x = -3x - 16.
On ajoute 3x à chaque membre afin d'isoler le terme sans x à droite : 8x = -16.
On divise chaque membre par 8 afin d'isoler x à gauche : x = -2.
La solution de l'équation 5x + 23 = -3x + 7 est -2.
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2
Résoudre une équation produit
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Définition
Une équation produit est une équation du type \text{A} \times \text{B} = 0 où \text{A} et \text{B} sont des expressions.
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Propriété
Si un produit de facteurs est nul, alors au moins l'un de ses facteurs est nul.
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Exemple
(3x - 12)(-2x + 4) = 0 est une équation de type produit.
On a donc 3x - 12 = 0 ou -2x + 4 = 0.
On a donc 3x - 12 = 0 ou -2x + 4 = 0.
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Il est parfois nécessaire de factoriser pour obtenir une équation produit.
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Méthodes
Résoudre des équations simples
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Énoncé
Résoudre les équations suivantes.
1. x-13=22
2. \frac{x}{-100}=3{,}1416
1. x-13=22
2. \frac{x}{-100}=3{,}1416
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On utilise les propriétés en choisissant la bonne opération
à effectuer sur les deux membres afin d'isoler x.
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Solution
1. On ajoute 13 aux deux membres afin d'isoler x :
x - 13 {\color{#C62A58} \:+\: 13} = 22 {\color{#C62A58} \:+\: 13} donc x = 35.
x - 13 {\color{#C62A58} \:+\: 13} = 22 {\color{#C62A58} \:+\: 13} donc x = 35.
2. On multiplie chaque membre par -100 afin d'isoler x :
\frac{x}{-100} {\color{#C62A58} \: \times \:(-100)}=3{,}1416 {\color{#C62A58} \: \times \:(-100)} donc x = -314{,}16.
\frac{x}{-100} {\color{#C62A58} \: \times \:(-100)}=3{,}1416 {\color{#C62A58} \: \times \:(-100)} donc x = -314{,}16.
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Résoudre une équation du premier degré
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Énoncé
Résoudre l'équation 7x - 5 = 4x + 13.
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- On utilise d'abord des additions et soustractions dans l'intention d'obtenir un membre ne contenant que des termes en x et un membre ne contenant aucun x.
- Enfin on utilise une multiplication ou une division pour résoudre l'équation.
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Solution
\begin{aligned}
7 x-5 &=4 x+13 \\
7 x-5 {\color{#C62A58}\:-\:4 x} &=4 x+13 {\color{#C62A58}\:-\:4 x} \\
3 x-5 &=13 \\
3 x-5{\color{#C62A58}\:+\:5} &=13{\color{#C62A58}\:+\:5} \\
3 x &=18 \\
3 x {\color{#C62A58}\:\div\: 3} &=18 {\color{#C62A58}\:\div\: 3} \\
x &=6
\end{aligned}
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Résoudre une équation produit
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Énoncé
Résoudre l'équation 3x^2 + 2x = 0.
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C'est une équation du second degré. On factorise le membre de gauche par x puis on résout en utilisant la propriété de la leçon.
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3
Résoudre une équation de la forme x^2=a
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Propriété
- Si a \gt 0 alors les solutions de l'équation x^2 = a sont -\sqrt{a} et \sqrt{a}.
- Si a = 0 alors la solution de l'équation x^2 = a est 0.
- Si a \lt 0 alors l'équation x^2 = a n'a pas de solution.
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Exemples
1. Les solutions de l'équation x^2 = 81 sont -9 et 9 et celles de x^2 = 31 sont - \sqrt{31} et \sqrt{31}.
2. La solution de l'équation x^2 = 0 est 0.
3. L'équation x^2 = -20 n'a pas de solution car le carré d'un nombre est toujours positif.
2. La solution de l'équation x^2 = 0 est 0.
3. L'équation x^2 = -20 n'a pas de solution car le carré d'un nombre est toujours positif.
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Résoudre x^2 = a (avec a \geqslant 0) revient à résoudre l'équation produit (x - \sqrt{a})(x + \sqrt{a}) = 0.
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4
Modéliser un problème par une équation
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Marche à suivre
Pour modéliser un problème par une équation afin de le résoudre, on doit suivre les étapes suivantes.
1. Choisir l'inconnue : on désigne par une lettre une valeur inconnue dans le problème.
2. Mettre en équation : on traduit l'énoncé du problème par une équation.
3. Résoudre l'équation : on résout l'équation en utilisant les propriétés.
2. Mettre en équation : on traduit l'énoncé du problème par une équation.
3. Résoudre l'équation : on résout l'équation en utilisant les propriétés.
4. Vérifier les solutions : on remplace l'inconnue par chacune des solutions trouvées dans chaque membre de l'équation pour vérifier que l'égalité est vraie. On vérifie la cohérence des solutions trouvées avec le problème à résoudre.
5. Répondre au problème.
5. Répondre au problème.
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Exemple
Juliette, Pierre et Sacha possèdent 225 € à eux trois. Pierre a 15 € de moins que Juliette et Sacha a le double de la somme détenue par Juliette. Déterminer la somme d'argent de chacun.
1. On désigne par x la somme d'argent possédée par Pierre.
2. Puisqu'à eux trois ils possèdent 225 € alors x + (x + 15) + 2(x + 15) = 225.
3.
\begin{aligned} 2 x+15+2 x+30 &=225 \\ 4 x+45 &=225 \\ 4 x &=180 \\ x &=45 \end{aligned}
4. 45+(45+15)+2(45+15)=45+60+120=225
5. Pierre possède 45 €, Juliette 60 € et Sacha 120 €.
1. On désigne par x la somme d'argent possédée par Pierre.
2. Puisqu'à eux trois ils possèdent 225 € alors x + (x + 15) + 2(x + 15) = 225.
3.
\begin{aligned} 2 x+15+2 x+30 &=225 \\ 4 x+45 &=225 \\ 4 x &=180 \\ x &=45 \end{aligned}
4. 45+(45+15)+2(45+15)=45+60+120=225
5. Pierre possède 45 €, Juliette 60 € et Sacha 120 €.
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Méthodes
Résoudre une équation de la forme x^2=a
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Énoncé
Résoudre les équations suivantes.
1. x^2 = 144
2. x^2 = 217
3. x^2 = -14
1. x^2 = 144
2. x^2 = 217
3. x^2 = -14
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Pour chaque équation de la forme x^2 = a, il faut s'intéresser au signe de a afin de savoir combien de solutions possède l'équation.
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Modéliser un problème par une équation pour le résoudre
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Énoncé
Dans la figure suivante, \text{ABCD} est un rectangle et \text{BCE} est un triangle équilatéral.
Déterminer la longueur \text{AD} afin que le rectangle \text{ABCD} et le triangle \text{BCE} aient le même périmètre.
Déterminer la longueur \text{AD} afin que le rectangle \text{ABCD} et le triangle \text{BCE} aient le même périmètre.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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On désigne par x la longueur \text{AD} en centimètre puis on exprime les périmètres de chaque figure en fonction de x. On écrit alors cette égalité entre périmètres et on obtient une équation qu'il faut résoudre.
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Solution
On désigne par x la longueur \text{AD} en centimètre.
Alors le périmètre du rectangle s'exprime par 2 \times 5 + 2x et celui du triangle par 3x.
Comme ces périmètres sont égaux alors on est amené à résoudre l'équation 10 + 2x = 3x.
On soustrait 2x à chaque membre et on obtient 10 = x.
Alors le périmètre du rectangle s'exprime par 2 \times 5 + 2x et celui du triangle par 3x.
Comme ces périmètres sont égaux alors on est amené à résoudre l'équation 10 + 2x = 3x.
On soustrait 2x à chaque membre et on obtient 10 = x.
Vérification :
Périmètre du rectangle \text{ABCD} : 2 \times (5 + 10) = 30 cm.
Périmètre du triangle \text{BCE} : 3 \times 10 = 30 cm.
\text{ABCD} et \text{BCE} ont donc le même périmètre lorsque la longueur \text{AD} est égale à 10 cm.
Périmètre du rectangle \text{ABCD} : 2 \times (5 + 10) = 30 cm.
Périmètre du triangle \text{BCE} : 3 \times 10 = 30 cm.
\text{ABCD} et \text{BCE} ont donc le même périmètre lorsque la longueur \text{AD} est égale à 10 cm.
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Oups, une coquille
j'ai une idée !
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YolèneÉmilieJean-PaulFatimaSarah