On considérera qu'un vecteur du plan est modélisé par une liste contenant deux nombres réels représentant ses coordonnées dans un repère orthonormé.

Par exemple, \color{purple}\bf{[2,3]} représente le vecteur \vec{u}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right).

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Exercice 20

Expliquer pourquoi la fonction \color{purple}\bf{produitscalaire}, qui prend en arguments deux listes de deux éléments, renvoie le produit scalaire des vecteurs représentés par ces deux listes.

def produitscalaire(u,v):
  ps = u[0]*v[0] + u[1]*v[1]
  return ps

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Exercice 21

On reprend la fonction \color{purple}\bf{produitscalaire} de l'exercice précédent. On considérera ici que les deux vecteurs sont à coordonnées entières.

1. Tester le programme suivant pour différents vecteurs \vec{u} et \vec{v}.

def produitscalaire(u,v):
  ps = u[0]*v[0] + u[1]*v[1]
  return ps

def test(u,v):
  if produitscalaire(u,v) == 0:
    return "Le résultat vaut 0"
  else :
    return "Le résultat est non nul"

2. Que peut‑on dire des vecteurs \vec{u} et \vec{v} quand le programme renvoie \color{purple}\bf{Le \: résultat \: vaut \: 0} ?

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Exercice 22

1. Soit \vec{u} un vecteur. Que vaut \vec{u} \cdot \vec{u} ?

2. En utilisant la fonction \color{purple}\bf{produitscalaire} de l'

exercice 20

, écrire un programme, en langage Python, retournant la norme d'un vecteur \vec{u} dont les coordonnées sont données en argument.

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Exercice 23

Compléter la fonction \color{purple}\bf{memenorme} pour qu'elle renvoie \color{purple}\bf{True} si les deux vecteurs donnés en arguments ont la même norme, et \color{purple}\bf{False} sinon

def memenorme(u, v):
  norme_u2 = u[0]**2 + u[1]**2
  norme_v2 = ...
  if ... :
    return True
  else:
    return False

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Exercice 24

Dans le programme suivant, on cherche à calculer le cosinus de l'angle de deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v}.

from math import *

def produitscalaire(u,v):
  ps = u[0]*v[0] + u[1]*v[1]
  return ps

def cos_angle(u,v):
  if (u[0] == 0 and u[1] == 0) or (v[0] == 0 and v[1] == 0):
    return "Erreur"
  else :
    norme_u = sqrt(u[0]**2 + u[1]**2)
    norme_v = sqrt(v[0]**2 + v[1]**2)
    ps = produitscalaire(u,v)
    return ...

1. Expliquer les lignes 8 et 9 du programme.

2. Rappeler la formule donnant le produit scalaire de deux vecteurs non nuls \vec{u} et \vec{v} en fonction de leur norme et d'une mesure \theta de l'angle (\vec{u} \: , \vec{v})

3. Compléter la ligne 14 du programme et le tester pour plusieurs valeurs des listes \color{purple}\bf{u} et \color{purple}\bf{v}.

4. Que se passe‑t‑il si \color{purple}\bf{\mathbf{u}=[0,0]} ?

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Exercice 25

Le programme suivant permet de déterminer, parmi une liste de vecteurs, quel couple de vecteurs distincts a le produit scalaire le plus grand.

def produitscalaire(u,v):
  return u[0]*v[0] + u[1]*v[1]

liste = [[1,2], [1,-2], [-1,-2], [2,2], [2,-2], [2,-1]]
meilleur = -100

for i in range(6):
  for j in range(6):
    if produitscalaire(liste[i],liste[j]) > meilleur :
      reponse = [i,j]
      meilleur = produitscalaire(liste[i],liste[j])
print(meilleur, reponse)

1. Tester et expliquer ce programme.

2. Modifier ce programme pour qu'il prenne en compte les produits scalaires des vecteurs par eux‑mêmes.

3. Modifier le programme pour qu'il affiche le couple de vecteurs ayant le plus petit produit scalaire.

4. Modifier le programme pour qu'il affiche, s'ils existent, deux vecteurs orthogonaux de la liste.

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Exercice 26

On admettra que dans l'espace muni d'un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), un vecteur possède trois coordonnées. Deux vecteurs \vec{u} et \vec{v} ont alors pour coordonnées \vec{u}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \end{array}\right).

Le produit scalaire de ces vecteurs est alors :

\vec{u} \cdot \vec{v}=x x^{\prime}+y y^{\prime}+z z^{\prime}.

Proposer une fonction \color{purple}\bf{produit\_scalaire\_3d} qui renvoie le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace.

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