Applications directes

1. \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=5 et \theta=45^{\circ}.

2. \|\vec{u}\|=3,\|\vec{v}\|=7 et \theta=30^{\circ}.

3. \|\vec{u}\|=3 \sqrt{5},\|\vec{v}\|=3 et \theta=90^{\circ}.

4. \|\vec{u}\|=\frac{3}{4},\|\vec{v}\|=\frac{\sqrt{3}}{2} et \theta=120^{\circ}.

1. \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=4 et \theta=\frac{5 \pi}{6} \: \mathrm{rad}.

2. \|\vec{u}\|=2,\|\vec{v}\|=9 et \theta=\frac{2 \pi}{3} \: \mathrm{rad}.

3. \|\vec{u}\|=\sqrt{6},\|\vec{v}\|=1 et \theta=\frac{\pi}{3} \: \text{rad}.

4. \|\vec{u}\|=\frac{3}{4},\|\vec{v}\|=\sqrt{2} et \theta=\frac{3 \pi}{4} \: \text{rad}.

Soit \text{ABC} un triangle équilatéral de côté 3 cm. Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Soit \text{ABC} un triangle tel que :

\widehat{\mathrm{BCA}}=\frac{\pi}{6}, \mathrm{AC}=\frac{2}{3} et \mathrm{BC}=4 \sqrt{3}.

Calculer \overrightarrow{\mathrm{CB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points tels que \mathrm{AB}=2 et {\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{BA}}.} Calculer \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BA}}.

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points tels que \mathrm{AB}=3 et {\overrightarrow{\mathrm{AC}}=-6 \overrightarrow{\mathrm{AB}}.} Calculer \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

1. \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} -7 \\ -4 \end{array}\right).

2. \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 0 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 6 \\ -3 \end{array}\right).

1. \vec{u}\left(\begin{array}{l} \frac{3}{5} \\ 8 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -5 \\ \frac{4}{5} \end{array}\right).

2. \vec{u}\left(\begin{array}{c} \frac{1}{7} \\ -\frac{5}{4} \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} \frac{2}{3} \\ 2 \end{array}\right).

1. \vec{u}\left(\begin{array}{l} \sqrt{2} \\ -1 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 3 \\ \sqrt{2} \end{array}\right).

2. \vec{u}\left(\begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 0 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -2 \\ \sqrt{3} \end{array}\right).

On considère les points \mathrm{A}(2 \: ;-3), \mathrm{B}(1 \: ; 5) et \mathrm{C}(-4 \: ; 7). Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

On considère les points \mathrm{A}\left(0 \: ; \frac{2}{7}\right), \mathrm{B}\left(-4 \: ; \frac{3}{7}\right) et \mathrm{C}\left(\frac{1}{7} \: ; 6\right). Calculer \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

On considère les points \mathrm{A}(-7 \: ; 1), \mathrm{B}(4 \: ;-3) et \mathrm{C}(0 \: ; 2). Calculer \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Calculer (3 \vec{u}) \cdot(-5 \vec{v}) lorsque \vec{u} \cdot \vec{v}=-\frac{2}{5}.

Soient \vec{u}, \vec{v} et \vec{w} trois vecteurs tels que \vec{u} \cdot \vec{w}=-3 et \vec{v} \cdot \vec{w}=5. Calculer \vec{w} \cdot(4 \vec{u}-2 \vec{v}).

Déterminer une mesure, en radian, de l'angle \theta entre les vecteurs \vec{u} et \vec{v} vérifiant \vec{u} \cdot \vec{v}=-3,\|\vec{u}\|=\sqrt{3} et \|\vec{v}\|=2.

Dans chaque cas, déterminer une valeur arrondie au degré près de \theta.

1. \|\vec{u}\|=3,\|\vec{v}\|=5 et \vec{u} \cdot \vec{v}=-4.

2. \|\vec{u}\|=\frac{1}{2},\|\vec{v}\|=3 et \vec{u} \cdot \vec{v}=\frac{5}{4}.

Dans chaque cas, déterminer une mesure en radian de \theta.

1. \|\vec{u}\|=3,\|\vec{v}\|=\sqrt{2} et \vec{u} \cdot \vec{v}=3.

2. \|\vec{u}\|=10,\|\vec{v}\|=1 et \vec{u} \cdot \vec{v}=-5 \sqrt{3}.

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \mathrm{A}(0 \: ; 3), \mathrm{B}(9 \: ; 2) et \mathrm{C}(-3 \: ;-1).

1. Calculer \mathrm{AB}, \mathrm{AC} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. En déduire une valeur arrondie au degré près de \widehat{\mathrm{BAC}}.

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \mathrm{A}(\sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3}), \mathrm{B}(-1+\sqrt{3} \: ; \sqrt{3}) et \mathrm{C}(2 \sqrt{3} \: ; 2 \sqrt{3}+1).

1. Calculer \mathrm{AB}, \mathrm{AC} et \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

2. En déduire une valeur exacte en radian de \widehat{\mathrm{BAC}}.

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points \mathrm{O}(0 \: ; 0), \mathrm{B}(2 \: ; 0) et \mathrm{C}(\sqrt{2} \: ; \sqrt{2}).

1. Calculer \mathrm{OB}, \mathrm{OC} et \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}.

2. En déduire une valeur exacte en radian de \widehat{\mathrm{BOC}}.

1. \vec{u}\left(\begin{array}{c} 3 \\ 12 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 4 \\ -1 \end{array}\right).

2. \vec{u}\left(\begin{array}{c} -20 \\ -5 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 4 \end{array}\right).

1. \vec{u}\left(\begin{array}{c} -2 \\ 6 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -1 \\ 3 \end{array}\right).

2. \vec{u}\left(\begin{array}{l} \frac{5}{3} \\ \frac{1}{6} \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -\frac{7}{2} \\ 35 \end{array}\right).

1. \mathrm{A}(5 \: ; 2), \mathrm{B}(8 \: ; 1), \mathrm{C}(2 \: ; 1) et \mathrm{D}(1 \: ;-2).

2. \mathrm{A}(3 \: ;-1), \mathrm{B}(-1 \: ; 1), \mathrm{C}(-1 \: ;-1) et \mathrm{D}(1 \: ; 2).

1. \mathrm{A}(2 \: ; 0), \mathrm{B}\left(\frac{1}{3} \: ; 1\right), \mathrm{C}\left(1 \: ; \frac{1}{4}\right) et \mathrm{D}(-1 \: ;-2).

2. \mathrm{A}(1 \: ;-2), \mathrm{B}(3 \: ; 1), \mathrm{C}\left(\frac{1}{2} \: ;-3\right) et \mathrm{D}(-1 \: ;-2).

Soit \text{ABCD} un carré de côté 5 cm et de centre \text{O}.


À l'aide d'une projection orthogonale, calculer les produits scalaires suivants.

1. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

2. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AO}}

3. \overrightarrow{\mathrm{AO}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

4. \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}

On se place dans un repère orthonormé.
Les vecteurs \vec{u}\left(\begin{array}{c} 5 \\ -4 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} 8 \\ 10 \end{array}\right) sont‑ils orthogonaux ?
Justifier la réponse.

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}),on considère le vecteur \vec{u} de norme 2 et formant un angle \frac{5 \pi}{6} avec le demi‑axe (\mathrm{O} \: ; \vec{i}) des abscisses.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal \overrightarrow{u^{\prime}} de \vec{u} sur l'axe des abscisses.

Soit \text{EFG} un triangle non aplati.

Écrire les trois égalités obtenues à l'aide du théorème d'Al‑Kashi.

Soit \text{ABC} un triangle tel que :

\mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=7 et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{\pi}{4}.

Déterminer la valeur exacte de \mathrm{BC}^{2}, puis une valeur arrondie à 10^{-2} près de \text{BC}.

Soit \text{EFG} un triangle tel que :

\mathrm{FG}=\sqrt{3}, \mathrm{EG}=2 et \widehat{\mathrm{EGF}}=\frac{5 \pi}{18}.

Déterminer une valeur arrondie à 0,01 près de \text{EF}.

Soit \text{ABC} un triangle isocèle en \text{A} tel que :

\mathrm{AC}=6 et \widehat{\mathrm{BAC}}=\frac{7 \pi}{36}.

Déterminer une valeur arrondie à 0,1 près de \text{BC}.

Soit \text{ABC} un triangle tel que :

\mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=6 et \mathrm{BC}=8.

Déterminer une valeur arrondie au degré près de \widehat{\mathrm{ABC}}.

Soit \text{ABC} un triangle tel que :

\mathrm{AB}=4, \mathrm{AC}=2 \sqrt{3} et \widehat{\mathrm{ABC}}=\frac{\pi}{3}.

Déterminer la valeur exacte de \text{BC}.

Soit \text{MAT} un triangle tel que :

\mathrm{AT}=2, \mathrm{MA}=5 et \widehat{\mathrm{MAT}}=\frac{\pi}{6}.

Déterminer la valeur exacte de \mathrm{TM}^{2}, puis une valeur arrondie au centième de \text{TM}.

Écrire l'égalité du parallélogramme pour un parallélogramme \text{EFGH}.