Produit scalaire

Découvrir une définition géométrique du produit scalaire de deux vecteurs non nuls et étudier quelques‑unes de ses propriétés.

Soit \text{ABC} un triangle rectangle en \text{A}. On note respectivement \theta=\widehat{\mathrm{ABC}} et \alpha=\widehat{\mathrm{BCA}}.



1. Démontrer que \mathrm{BA}=\mathrm{BC} \times \cos (\theta), puis que \mathrm{BA}^{2}=\mathrm{BA} \times \mathrm{BC} \times \cos (\theta).

L'expression \mathrm{BA} \times \mathrm{BC} \times \cos (\theta) est appelée produit scalaire des deux vecteurs \overrightarrow{\mathbf{B A}} et \overrightarrow{\mathbf{B C}}, et est notée \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}. Cette définition reste valable dans un triangle quelconque.

2. On a de même \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\mathrm{AB} \times \mathrm{AC} \times \cos (\widehat{\mathrm{BAC}}). Que vaut cette expression ?

3. Donner, sans la calculer, une expression du produit scalaire \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}.

On considère à présent un triangle non aplati \mathrm{A}' \mathrm{B}' \mathrm{C}' et on note \theta' une mesure de l'angle formé par les vecteurs \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}. On s'intéresse à quelques propriétés du produit scalaire.



1. Calculer \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} et \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}. Que semble‑t‑on pouvoir conjecturer ?

2. Démontrer que \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=-\left(\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}\right) et \overrightarrow{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}.

3. Que vaut \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}} ? On appelle ce nombre le carré scalaire de \overrightarrow{\mathbf{B}^{\prime} \mathbf{A}^{\prime}} et on le note \overrightarrow{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime}}^2.

On considère deux vecteurs non nuls \overrightarrow{\boldsymbol{u}} et \overrightarrow{\boldsymbol{v}} et \boldsymbol{\theta} une mesure de l'angle formé par \overrightarrow{\boldsymbol{u}} et \overrightarrow{\boldsymbol{v}}.

1. Donner une expression de \overrightarrow{\boldsymbol{u}} \cdot \overrightarrow{\boldsymbol{v}}, en fonction de \boldsymbol{\theta}, \lVert\overrightarrow{\boldsymbol{u}}\lVert et \lVert\overrightarrow{\boldsymbol{v}}\lVert.

2. Exprimer \boldsymbol{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}}, \boldsymbol{(-\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v}} et \boldsymbol{(-\overrightarrow{u}) \cdot(-\overrightarrow{v})} en fonction de \boldsymbol{\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}}.

Établir un critère permettant de caractériser l'orthogonalité de deux vecteurs.

On considère deux vecteurs non nuls \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} et on note \theta une mesure de l'angle entre \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v}.
Lorsque \theta est égal à \pm \frac{\pi}{2} à un multiple de 2\pi près, on dit que ces vecteurs sont orthogonaux.

1. a. On suppose dans cette question que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux. Calculer \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}.

b. On suppose ici que \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}=0. Montrer que les vecteurs \overrightarrow{u} et \overrightarrow{v} sont orthogonaux.

2. Application :
On considère trois points non alignés \text{A}, \text{B} et \text{C}, puis le projeté orthogonal \text{H} de \text{C} sur la droite (\mathrm{AB}).

En utilisant la relation de Chasles, démontrer que \overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}.

Compléter :

• « \boldsymbol{\overrightarrow{u}} et \boldsymbol{\overrightarrow{v}} sont orthogonaux si, et seulement si,...
  
  . »
• « Si \mathbf{H} est le projeté orthogonal de \mathbf{C} sur \mathbf{(AB)}, alors \mathbf{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}=} ...
  
  . »

Démontrer et utiliser le théorème d'Al‑Kashi.

Soit \text{ABC} un triangle quelconque non aplati.
On note a=\mathrm{BC}, b=\mathrm{AC} et c = \mathrm{AB}, puis \widehat{\text{A}}=\widehat{\text{BAC}}, \widehat{\text{B}}=\widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{C}}=\widehat{\text{ACB}}.


1. a. En utilisant la définition du produit scalaire, démontrer que \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=a^{2}.

b. En déduire la relation a^{2}=b^{2}+c^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}.

c. Démontrer la relation a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}}).
Cette relation est appelée formule du théorème d'Al‑Kashi.

2. Lorsque le triangle \text{ABC} est rectangle en \text{A}, quel théorème bien connu retrouve‑t‑on ? Justifier la réponse.

3. On suppose ici que \text{ABC} est un triangle rectangle isocèle en \text{B}.
a. Démontrer que la relation de la question 1. c. permet d'obtenir b^{2}=a b \sqrt{2}.

b. En déduire une expression de b en fonction de a.

4. Dans cette question, on utilisera l'égalité a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos (\widehat{\text{A}})
a. On suppose ici que \text{ABC} est un triangle tel que a = 7 \: \text{cm}, b = 5 \: \text{cm} et c = 3 \: \text{cm}.
Déterminer la valeur de l'angle \widehat{\mathrm{BAC}} en degré.

b. On suppose ici que \text{ABC} est un triangle tel que b = 2 \: \text{cm}, c = 5 \: \text{cm} et \widehat{\text{BAC}}=\frac{\pi}{4} \: \text{rad}.
Déterminer la valeur exacte de \text{BC}.

Écrire les trois égalités du théorème d'Al‑Kashi dans un triangle \bf{ABC} quelconque non aplati.

Démontrer l'égalité du parallélogramme.

On considère un parallélogramme \text{ABCD}.


1. En utilisant la relation de Chasles, démontrer que \mathrm{AC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}+2 \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

2. En introduisant le point \text{A} à l'aide de la relation de Chasles, déterminer une relation similaire pour \mathrm{BD}^{2}.

3. Justifier l'égalité suivante : \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}.

Soit \mathbf{ABCD} un parallélogramme.
Démontrer l'égalité \mathbf{A C}^{2}+\mathbf{B D}^{\mathbf{2}}=\mathbf{A B}^{\mathbf{2}}+\mathbf{B C}^{2}+\mathbf{C D}^{2}+\mathbf{A D}^{2}, c'est‑à‑dire que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme est égale à la somme des carrés de ses côtés.