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Exercice 8

\mathrm{AB} \times \mathrm{BC} \times \cos (\widehat{\mathrm{ABC}})=

a. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

b. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

c. \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

d. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}}

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Exercice 9

Dans un repère orthonormé, on considère \vec{u}\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{c} -4 \\ 8 \end{array}\right). Alors une valeur arrondie au degré près de \theta, mesure de l'angle entre \vec{u} et \vec{v}, est :

a. 3°

b. 97°

c. 173°

d. 60°

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Exercice 10

Soit \text{ABCD} un carré de côté 3.

Alors \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CD}} vaut :

a. 0

b. 9

c. -9

d. 1

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Exercice 11

Soient \mathrm{A}(-1 \: ; 2), \mathrm{B}(2 \:; 3), \mathrm{C}(1 \:;-1) et \mathrm{D}(-7 \: ;-3) dans un repère orthonormé. Alors :

a. (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont perpendiculaires.

b. (\mathrm{AD}) et (\mathrm{BC}) sont perpendiculaires.

c. (\mathrm{BA}) et (\mathrm{BC}) sont perpendiculaires.

d. (\mathrm{AC}) et (\mathrm{BD}) sont perpendiculaires.

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Exercice 12

Dans un repère orthonormé (\mathrm{O} \: ; \vec{i}, \vec{j}), on considère le vecteur \vec{u} de norme \text{5} et d'angle \frac{\pi}{4} avec l'axe des abscisses.

Le projeté orthogonal de \vec{u} sur l'axe des abscisses est :

a. \overrightarrow{u^{\prime}}=45 \vec{i}

b. \overrightarrow{u^{\prime}}=\frac{5 \sqrt{2}}{2} \vec{i}

c. \overrightarrow{u^{\prime}}=5 \vec{i}

d. \overrightarrow{u^{\prime}}=\frac{1}{9} \vec{i}

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Réponses multiples

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Exercice 13

Soit \text{ABC} un triangle tel que \mathrm{AB}=6, \mathrm{BC}=7 et \mathrm{AC}=9. Alors :

a. \widehat{\mathrm{BAC}} \approx 51^{\circ}

b. \widehat{\mathrm{BAC}} \approx 129^{\circ}

c. \widehat{\mathrm{ABC}} \approx 93^{\circ}

d. \widehat{\mathrm{ABC}} \approx 87^{\circ}

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Exercice 14

Dans un repère orthonormé, on considère \vec{u}\left(\begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{3} \end{array}\right) et \vec{v}\left(\begin{array}{l} \frac{2}{3} \\ 2 \end{array}\right). Alors :

a. \|\vec{u}\|=\frac{10}{9}

b. \|\vec{v}\|=\frac{2 \sqrt{10}}{3}

c. \vec{u} \cdot \vec{v}=0

d. \vec{u} et \vec{v} ne sont pas orthogonaux.

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Exercice 15

On considère un parallélogramme \text{ABCD} vérifiant \mathrm{AB}=4 et \mathrm{AD}=2.
Parmi les couples de valeurs suivants, sélectionner ceux qui correspondent à des valeurs possibles des diagonales \text{AC} et \text{BD}.

a. \mathrm{AC}=\sqrt{30} et \mathrm{BD}=\sqrt{10}

b. \mathrm{AC}=\sqrt{15} et \mathrm{BD}=5

c. \mathrm{AC}=\sqrt{40} et \mathrm{BD}=\sqrt{40}

d. \mathrm{AC}=1 et \mathrm{BD}=3

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Exercice 16

(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=

a. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

b. \mathrm{AC}^{2}

c. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}

d. \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{BC}}

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Exercice 17

Soient \text{A}, \text{B} et \text{C} trois points non alignés du plan. Soient \text{H} et \text{K} les projetés orthogonaux respectifs de \text{A} sur \text{(BC)} et de \text{C} sur \text{(AB)}.

Alors :

a. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

b. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BK}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}

c. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BK}}

d. \overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{BA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BH}}

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Exercice 18

Dans un repère orthonormé, on considère quatre points \mathrm{A}(1 \: ; 3), \mathrm{B}(5 \: ; 4), \mathrm{C}(6 \: ; 0) et \mathrm{D}(2 \: ;-1). Le quadrilatère \text{ABCD} est :

a. un carré.

b. un rectangle.

c. un parallélogramme.

d. un quadrilatère quelconque.

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Problème

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Exercice 19

Dans un repère orthonormé, on considère \vec{u}\left(\begin{array}{r} -1 \\ -3 \end{array}\right) et \vec{w}\left(\begin{array}{l} 2 \\ 2 \end{array}\right). Soit \vec{v} un vecteur tel que \vec{v} \cdot \vec{w}=4.

1. Calculer (\vec{u}+2 \vec{v}) \cdot \vec{w}.

2. Que peut‑on en conclure ?

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