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Partie 1 : Analyse
Ch. 1
Suites
Ch. 2
Fonctions
Ch. 3
Dérivation
Partie 2 : Statistiques et probabilités
Ch. 4
Fréquences conditionnelles et probabilités conditionnelles
Ch. 5
Variables aléatoires
Automatismes
Partie 3 : Géométrie
Ch. 6
Trigonométrie
Ch. 7
Produit scalaire
Ch. 8
Nombres complexes
Partie 4 : Analyse
Ch. 9
Compléments sur la dérivation
Ch. 10
Primitives
Révisions Genially
Chapitre 10
Avant de commencer
Spécialités STI2D - STL
Primitives
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1. Calculer des primitives.
2. Construire, point par point, par la méthode d'Euler, une approximation de la courbe représentative de la solution d'un problème de Cauchy du type y^{\prime}=f(t) et y\left(t_{0}\right)=y_{0}.
2. Construire, point par point, par la méthode d'Euler, une approximation de la courbe représentative de la solution d'un problème de Cauchy du type y^{\prime}=f(t) et y\left(t_{0}\right)=y_{0}.
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Les primitives sont des notions incontournables de par leurs nombreuses applications en physique, comme pour l'étude du mouvement d'une personne ou d'un objet, et en biologie.
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Rappels théoriques
Supplément numérique
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Connaître les dérivées de fonctions de référence :
| Fonctions | Ensemble de définition | Fonctions dérivées | Ensemble de dérivabilité |
| x^n avec n entier non nul | \R | nx^{n-1} | \R |
| \frac{1}{x} | \mathrm{R} \backslash\{0\} | -\frac{1}{x^2} | \mathrm{R} \backslash\{0\} |
| \cos(x) | \R | -\sin(x) | \R |
| \sin(x) | \R | \cos(x) | \R |
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Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction et d'une fonction de la forme \boldsymbol{x \mapsto f(ax+b)} :
Propriété :
Soient k un nombre réel et u, v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle \text{I}.- Les fonctions ku, u+v, u \times v sont dérivables sur \text{I} ;
- Si la fonction v ne s'annule pas sur \text{I}, les fonctions \dfrac{1}{v} et \dfrac{u}{v} sont dérivables sur \text{I} ;
- Leurs dérivées sont données dans le tableau ci‑dessous.
| Fonctions | Fonctions dérivées |
| k \times u, k \in \mathbb{R} | k \times u^{\prime} |
| u+v | u^{\prime}+v^{\prime} |
| u \times v | u^{\prime} \times v+u \times v^{\prime} |
| \frac{1}{v} avec v(x) \neq 0 sur \mathrm{I} | -\frac{v^{\prime}}{v^{2}} |
| \frac{u}{v} avec v(x) \neq 0 sur \mathrm{I} | \frac{u^{\prime} \times v-u \times v^{\prime}}{v^{2}} |
Propriété :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle \text{I} et a, b des nombres réels quelconques. Soit g une fonction définie sur un intervalle \text{J} tel que pour tout x dans \text{I}, ax+b est dans \text{J,} par g(x) = f(ax + b).Alors :
- g est dérivable sur \text{J} ;
- la fonction dérivée de g est g^\prime(x) = af^\prime(ax+b).
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Exercices
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1. Connaître les dérivées de fonctions de référence.
2. Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction et d'une fonction de la forme x \mapsto f(a x+b).
2. Connaître la dérivée d'une somme, d'un produit, d'un quotient de fonction et d'une fonction de la forme x \mapsto f(a x+b).
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Exercice 1Dérivée des fonctions de référence
Déterminer la dérivée de chacune des fonctions
suivantes sur leur ensemble de définition \text{I.}
1. f(x)=-9 x+5 \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. g(x)=x^{2} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. h(x)=\frac{1}{x} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}
4. k(x)=\cos (x)\: ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
5. \ell(x)=\sin (x) \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
1. f(x)=-9 x+5 \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
2. g(x)=x^{2} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
3. h(x)=\frac{1}{x} \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}^{*}
4. k(x)=\cos (x)\: ; \mathrm{I}=\mathbb{R}
5. \ell(x)=\sin (x) \:; \mathrm{I}=\mathbb{R}
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Exercice 2Dérivée d'une somme
Soit f la fonction définie pour tout réel x par : f(x) = 4x^2 - 3x + 2.
Déterminer la fonction dérivée de f.
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Exercice 3Dérivée d'un produit
Soit g la fonction définie sur \R par g(x) = x^2 \sin(x).
Déterminer la fonction dérivée de g.
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Exercice 4Dérivée d'un quotient
Soient k et \ell les fonctions définies respectivement sur \mathbb{R}^{*} et sur \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{1}{3}\right\} par : k(x)=\frac{1}{x^{2}} et \ell(x)=\frac{-2 x+1}{6 x+2} .
Déterminer les fonctions dérivées de k et de \ell.
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Exercice 5Dérivée d'une fonction de la forme \boldsymbol{x} \mapsto \boldsymbol{f}(\boldsymbol{a x}+\boldsymbol{b})
Soient \ell et m les fonctions définies respectivement sur \R par :
\ell(x)=4 \cos (3 x-5) et m(x)=\sin \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{4}\right).
Déterminer les fonctions dérivées de \ell et de m.
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Exercice 6Signe et variations
On considère dans le repère ci‑dessous la courbe représentative d'une fonction.
1. Dans cette question, la courbe représente une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer le signe de la fonction f^{\prime} sur \R.
2. Dans cette question, la courbe représente la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer les variations de la fonction f sur \R.
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1. Dans cette question, la courbe représente une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer le signe de la fonction f^{\prime} sur \R.
2. Dans cette question, la courbe représente la dérivée f^{\prime} d'une fonction f définie et dérivable sur \R. Déterminer les variations de la fonction f sur \R.
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John Glenn a été le premier Américain à effectuer un vol en orbite autour de la Terre grâce à la méthode d'Euler mise au point par Leonhard Euler en 1768.
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Exercice 7Problème
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À l'instant t = 0, Lucie lâche verticalement et sans vitesse initiale une bille d'une hauteur h. On note t_0 l'instant auquel la bille touche le sol.
L'altitude y(t), en mètre, de la bille pendant sa chute en fonction du temps t \in\left[0 \:; t_{0}\right], en seconde, est donnée par l'équation horaire : y(t)=h-\frac{1}{2} g t^{2}, où g désigne l'accélération de la pesanteur. On prendra g = 9{,}81 m/s2.
1. Déterminer, en fonction de h et de g, l'instant t_0 auquel la bille touche le sol.
2. Exprimer, pour tout t \in\left[0 \:; t_{0}\right], la vitesse v(t) de la bille pendant sa chute.
Aide
La vitesse est la dérivée de la position.
4. Exprimer, pour tout t \in\left[0 \:; t_{0}\right], l'accélération a(t) de la bille pendant sa chute.
Aide
L'accélération est la dérivée de la vitesse.
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