Dans chaque cas, montrer que la fonction \text{F} est une primitive de la fonction f sur \R.

1. \mathrm{F}: x \mapsto 6 x-3 et f: x \mapsto 6.

2. \mathrm{F}: x \mapsto 5 x^{2}+3 x et f: x \mapsto 10 x+3.

3. \mathrm{F}: x \mapsto \frac{2 x^{3}}{3}+5 x et f: x \mapsto 2 x^{2}+5.

4. \mathrm{F}: x \mapsto \frac{1}{3} \sin (3 x+2)+9 x-5 et f: x \mapsto \cos (3 x+2)+9.

5. \mathrm{F}: x \mapsto-\cos (2 x+2)+6 x-\sqrt{3} et f: x \mapsto 2 \sin (2 x+2)+6.

Dans chacun des cas suivants, déterminer les valeurs possibles de a, b, c et d pour lesquelles \text{F} est une primitive de f sur \R.

1. f(x)=-5 x+9 et \mathrm{F}(x)=a x^{2}+b x+c.

2. f(x)=x^{2}-6 x+4 et \mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.

3. f(x)=-4 x^{2}+8 x-3 et \mathrm{F}(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.

Dans chaque cas, montrer que les fonctions \text{F} correspondent aux primitives de la fonction f sur l'intervalle \text{I} considéré.

1. \mathrm{F}: x \mapsto x^{2} \sin (x)+k, avec k \in \mathbb{R} et f: x \mapsto x(x \cos (x)+2 \sin (x)) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. \mathrm{F}: x \mapsto(5 x+3)(2 x-2)+k, avec k \in \mathbb{R} et f: x \mapsto 20 x-4 sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

3. \mathrm{F}: x \mapsto \frac{2 x+3}{x+5}+k, avec k \in \mathbb{R} et f: x \mapsto \frac{7}{(x+5)^{2}} sur \mathrm{I}=[0 \:;+\infty[.

4. \mathrm{F}: x \mapsto \frac{4}{9} x^{3}+\frac{1}{3} \cos (3 x+4)+k, avec k \in \mathbb{R}, et f: x \mapsto \frac{4}{3} x^{2}-\sin (3 x+4) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

Les fonctions f: x \mapsto 5 x+2 et g: x \mapsto 5 x sont-elles des primitives sur \R d'une même fonction ? Justifier.

Les fonctions f: x \mapsto 7 x-18 et g: x \mapsto 7 x+100 sont‑elles des primitives sur \R d'une même fonction ? Justifier.

La fonction \mathrm{F}: x \mapsto x^{2}+6 x est‑elle une primitive de la fonction f: x \mapsto x+6 définie sur \R ? Justifier.

Soient \text{F} et f les fonctions définies respectivement sur \R par f(x)=18 x^{2}-10 x+8 et \text{F}(x)=(3 x+5)\left(2 x^{2}-5 x+7\right)+12 x-3.
Montrer que \text{F} est une primitive de f sur \R.

Justifier que la fonction \text{G} définie, pour tout réel x, par \text{G}(x)=\frac{3 x+2}{x^{2}+3} est une primitive sur \R de la fonction g définie par g(x)=\frac{-3 x^{2}-4 x+9}{\left(x^{2}+3\right)^{2}}.

Sans se préoccuper de l'ensemble de définition, associer à chacune des fonctions f, g, h et k une de ses primitives \ell, m, n et p.

Soit f une fonction dont on donne la représentation graphique ci‑dessous sur l'intervalle [0\: ; 2].


Parmi les trois courbes ci‑dessous, une seule correspond à la représentation graphique de la primitive \text{F} de f sur [0\: ; 2] vérifiant \text{F}(0)=0. Déterminer laquelle.

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La fonction f est représentée ci‑dessous sur l'intervalle [-1\: ; 1].


Parmi les trois courbes ci‑dessous, une seule correspond à la représentation graphique d'une primitive \text{F} de f sur [-1\: ; 1]. Déterminer laquelle.

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Dans chaque cas, déterminer une primitive sur \R de la fonction donnée.

1. x \mapsto-2

2. x \mapsto 3 x-9

3. x \mapsto \frac{-x^{2}}{3}+x

4. x \mapsto 5 x^{2}+\frac{8 x}{5}-2

5. x \mapsto 7 x^{3}+\frac{4}{5} x^{2}

6. x \mapsto 5 x^{4}+\frac{6}{9}

1. Déterminer sur \R une primitive de la fonction x \mapsto 6 x^{2}.

2. Déterminer une primitive de la fonction x \mapsto-9 x^{3}.

Dans chaque cas, déterminer une primitive sur \R de la fonction donnée.

1. x \mapsto \cos (5 x+4)

2. x \mapsto \sin (x+1)-\cos (x)

3. x \mapsto \sin (x-2)+\sin (3 x)

4. x \mapsto \cos (2 x+1)+2 x-6

Dans chaque cas, déterminer l'ensemble des primitives sur \R de la fonction donnée.

1. x \mapsto x+8

2. x \mapsto-16 x+3

3. x \mapsto 2 \sin (x+1)

4. x \mapsto 3 \cos (2 x+1)

5. x \mapsto-5 \cos (4 x-2)

6. x \mapsto 2 \sin (3 x-9)+x^{2}-1

1. Déterminer sur \R l'ensemble des primitives de la fonction f: x \mapsto 5 x.

2. Déterminer sur \R l'ensemble des primitives de la fonction g : x \mapsto -2x.

1. Soit f la fonction définie sur \R par : f(x)=(x+1)^2.
Déterminer une primitive \text{F} de f sur \R.

2. Soit g la fonction définie sur \R par : g(x)=\left(3 x-2+x^{2}\right)(2 x-3).
Déterminer une primitive \text{G} de g sur \R.

1. Justifier que la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=\sin (x)+1 est une primitive de la fonction f définie sur \R par f(x)=\cos(x).

2. Déterminer la primitive \text{F}_\pi de f vérifiant \text{F}_\pi(\pi) = 1.

1. Justifier que la fonction \text{F} définie par \text{F}(x) = x^4 - 2x est une primitive de la fonction f définie par f(x)=4x^3-2 sur \R.

2. Déterminer la primitive \text{F}_2 de f vérifiant \text{F}_2(2) = 12.

Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x) = 3x^2 + 2 et vérifiant \text{F}(0) = 0.

Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x)=5 x^{2}+6 x-4 et vérifiant \text{F}(1)=2.

Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x)=2 \sin (x) et vérifiant \mathrm{F}(\pi)=0.

Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x)=\cos (4 x) et vérifiant \mathrm{F}\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.

Soit f la fonction définie sur \R par f(x) = 6.
Déterminer la primitive \text{F} de f vérifiant \text{F}(1) = 6.

1. Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x) = 3\sin(x) vérifiant \text{F}(0) = 0.

2. Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x) = -5\cos(x) vérifiant \mathrm{F}\left(\frac{\pi}{2}\right)=5.

1. Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x) = -x et vérifiant \text{F}(0) = 0.

2. Déterminer sur \R la primitive \text{F} de la fonction f définie par f(x) = 2x et vérifiant \text{F}(-1) = 0.