Différenciation

Parcours 1 : exercices

54

 ;

58

 ;

61

 ;

65

 ;

74

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75

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82

et

100

Parcours 2 : exercices

55

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59

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62

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66

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76

 ;

77

 ;

83

et

102

Parcours 3 : exercices

57

 ;

60

 ;

63

 ;

78

 ;

79

 ;

86

 ;

88

et

101

Dans chaque cas, déterminer une primitive de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto 44 \sin (x)

2. g: x \mapsto x-6

3. h: x \mapsto 3 x+56

4. k: x \mapsto x^{2}+1

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto 2021

2. g: x \mapsto x+1

3. h: x \mapsto x^2-1

4. k: x \mapsto x^{3}-2 x^{2}+4 x

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto x^{4}-3 x^{3}+5 x^{2}+5 x

2. g: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{2}+\frac{x^{2}}{4}+9 x

3. h: x \mapsto \frac{3 x^{4}}{2}+\frac{5 x^{2}}{6}+10

4. k: x \mapsto \frac{4 x^{5}}{3}+\frac{-2 x}{3}-10

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto \cos (6 x+9)

2. g: x \mapsto \sin (6 x-7)

3. h: x \mapsto \frac{3 x^{3}}{2}+\frac{x}{2}

4. k: x \mapsto \frac{3 x^{4}}{2}+\frac{x^{3}}{5}-7 x

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur \R.

1. f: x \mapsto \frac{-5 x^{4}}{2}+\frac{x^{2}}{7}-8 x

2. g: x \mapsto \cos (4 x+3)

3. h: x \mapsto \sin (x+9)

4. k: x \mapsto-\sin (6 x+7)

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I.}

1. f: x \mapsto-\sin (8 x-4)+x^{3}-\frac{9 x}{2} sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto 2 \cos (5 x-3)+x^{3}+\frac{7 x}{4} sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I} considéré.

1. f: x \mapsto 3 \cos (7 x)+\sin (5 x-3) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto-4 \sin (8 x-9)-2 \cos \left(\frac{5 x}{4}-2\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

Dans chaque cas, déterminer toutes les primitives de la fonction donnée sur l'intervalle \text{I} considéré.

1. f: x \mapsto \cos (6 x+\pi) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g: x \mapsto 2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

Déterminer la primitive \text{F} de la fonction f sur \R définie par f(x) = 6x + 2 et vérifiant \text{F}(1) = 2.

Déterminer la primitive \text{F} de f sur \R définie par f(x)=\frac{5 x^{2}}{8}-3 x+2 et vérifiant \text{F}(-1) = 2.

Déterminer la primitive \text{G} de g sur \R définie par g(x)=\frac{2 x^{3}+3 x^{2}+9}{5} et vérifiant \mathrm{G}(1)=1.

Dans chaque cas, déterminer la primitive \text{F} de f sur \R qui s'annule en x = -1.

1. f(x)=9 x^{2}-\frac{3 x}{5}

2. f(x)=8 x^{3}-10 x^{2}-7 x

3. f(x)=\frac{3 x^{4}}{2}-10 x+1

Déterminer la primitive \text{F} de f sur \R définie par f(x) = 4\sin(2x) - 3\sin(5x) et vérifiant \text{F}(\pi) = 0.

Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant lorsqu'on lui demande de déterminer une primitive de x \mapsto \frac{5 x^{4}}{3}+2 x^{2}.

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Vérifier la réponse obtenue.

Déterminer les primitives de la fonction f définie pour tout réel x par f(x) = (4x + 7)(-2x + 3).

Déterminer les primitives sur l'intervalle \text{I} indiqué des fonctions suivantes.

1. f(x)=\left(2 x^{2}-3 x+2\right)(-2 x+1) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

2. g(x)=\frac{x^{3}-3 x^{2}+2 x}{x} sur \mathrm{I}=[1 \:; 10]

3. h(x)=5\left(3 x^{2}+2 x+3\right) sur \mathrm{I}=\mathbb{R}.

Déterminer une expression possible d'une primitive \text{F} d'une fonction f polynôme de degré 2 dont le tableau de variations correspond à celui ci‑dessous.

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Dans un exercice, on cherche à déterminer les primitives de la fonction f définie sur \R par :

f(x)=\left(3 x^{2}-2 x+1\right)(2 x+3).

Voici la production d'un élève.

On intègre terme à terme.
Les primitives \text{F} de f sont définies sur \mathbb{R} par \text{F}(x)=\left(x^{3}-x^{2}+x+k\right)\left(x^{2}+3 x+k\right) où k \in \mathbb{R}.

Cette production comporte plusieurs erreurs. Les retrouver, puis répondre au problème initial.

Dans chaque cas, représenter, dans un repère orthogonal, la primitive \text{F} de la fonction f définie sur \R par :

1. f(x)=9 x^{2}-7 x+5 et vérifiant \mathrm{F}(1)=0.

2. f(x)=5 x^{3}+6 x-10 et vérifiant \mathrm{F}(0)=0.

Une particule se déplace sans frottement et sans vitesse initiale le long d'un axe horizontal de repère (\mathrm{O} \:; \vec{i}) à partir du point \text{O.} Son accélération instantanée, en m/s², est donnée à l'instant t, en seconde, pour t \in[0 \:; 180], par a(t)=\cos \left(3 t+\frac{\pi}{2}\right).

1. Déterminer, pour tout t \in[0 \:; 180], la vitesse instantanée v(t), en m/s, de la particule.

2. Exprimer, pour tout t \in[0 \:; 180], l'abscisse x(t), en mètre, de la particule à l'instant t.

Un champion de moto démarre sa course sans vitesse initiale et avec une accélération, en m/s², donnée pendant 1{,}5 secondes par a(t) = 10t^2 + 3t, où t désigne le temps écoulé en seconde depuis le début de sa course, avec t \in [0 \: ; 1{,}5].

1. Déterminer, en fonction de t, l'expression de la fonction v, représentant la vitesse instantanée de cette moto, en m/s, et primitive de a sur [0 \: ; 1{,}5].

2. Exprimer, pour tout t \in [0 \: ; 1{,}5], la distance x(t) parcourue par le champion de moto, en mètre, en choisissant x(0) = 0.

3. Quelle distance aura parcouru le champion de moto pendant la première seconde et demie de sa course ?

La réaction d'oxydation des ions iodures par l'eau oxygénée est donnée par l'équation chimique :

2 \mathrm{I}^{-}+\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{2}+2 \mathrm{H}^{+} \rightarrow \mathrm{I}_{2}+2 \mathrm{H}_{2} \mathrm{O}.

La vitesse volumique de formation du diiode \text{I}_2, à l'instant t, est égale à v(t)=\frac{x^{\prime}(t)}{\mathrm{V}}, où \text{V} désigne le volume du mélange réactionnel et x(t) l'avancement molaire du diiode, en mol, à l'instant t \in[0 \:; 400], en seconde.
Avec un volume \text{V} = 0{,}1 L, la vitesse volumique de formation du diiode \text{I}_2 à l'instant t est donnée par :

v(t)=0{,}0006 t^{2}+0{,}75 t+0{,}44.

Déterminer l'expression de x(t) à l'instant t. On choisira x(0) = 0.

Pour s'entraîner pour sa prochaine compétition, Hakim s'entraîne au plongeon. On note y(t) la position d'Hakim à l'instant t \in [0\: ; 5], en seconde, sur un axe dirigé vers le bas. Avant son plongeon, Hakim est situé à 10 m (origine de l'axe vertical) de la surface de l'eau. Il saute du plongeoir sans vitesse initiale, il subit une accélération constante g = 9{,}81 m/s².

1. Déterminer sa vitesse v(t), puis la position y(t) de Hakim à l'instant t.

2. À quel instant t Hakim se trouvera‑t‑il à 2 m de la surface de l'eau ? Quelle sera alors sa vitesse en m/s ? En km/h ?

Assis dans son jardin, Isaac observe la chute d'une pomme de son pommier. Soucieux de comprendre cette trajectoire, il utilise les lois de Newton.
Il admet que seule la force du poids s'applique sur la pomme. Il obtient que l'accélération instantanée a(t) de la pomme à l'instant t est constante et vaut a(t) = -9{,}8 m/s².
On admet que la pomme tombe d'une hauteur de 2{,}5 m et sans vitesse initiale à l'instant t = 0 et on choisit 0 la hauteur du sol.

1. Calculer, pour tout t, la position x(t) de la pomme.

2. Calculer au bout de combien de temps la pomme atteint le sol. On arrondira le résultat à 0{,}1 s.

En réponse à un exercice, on écrit : « \text{F}(x) = 4x^3 + 6x - 2 ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.

En réponse à un exercice, on écrit : « Pour une durée de vol t \in[0 \:; 15], la distance, en km, parcourue par l'avion s'exprime, en fonction de t, en heure, par x(t)=-0{,}5 t^{3}+25 t^{2}+210 t ».
Rédiger un énoncé possible de cet exercice.