Soient \text{F} et \text{G} deux primitives respectives de deux fonctions f et g sur un intervalle \text{I.}

• Une primitive de la fonction f + g sur \text{I} est donnée par la fonction \text{F + G.}
• Une primitive de la fonction \lambda f sur \text{I} est donnée par la fonction \lambda \text{F}, avec \lambda \in \R.

Une primitive de la fonction f définie sur \R par f(x) = x^4 + 3x^2 + 5x est la fonction \text{F} définie sur \R par \mathrm{F}(x)=\frac{x^{5}}{5}+\frac{3 x^{3}}{3}+\frac{5 x^{2}}{2}.

Déterminer une primitive de la fonction h définie sur \R par h(t)=8 \cos \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)+3 t.

• On vérifie que h est bien écrite sous la forme de somme de fonctions de référence.
• Pour déterminer une primitive \text{H} de h, on détermine une primitive de chaque terme de la somme.

On étudie une somme de fonctions. Pour calculer une primitive de la fonction h, on primitive chacun des termes de la somme.
Pour tout t \in \R , on a h(t)=8 {\color{red}\cos \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)}+3 {\color{green}t}.
Une primitive de la fonction h est donc la fonction \text{H} définie sur \R par \mathrm{H}(t)=8 \times {\color{red}\left[\frac{1}{2} \sin \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)\right]}+3 \times {\color{green}\left(\frac{1}{2} t^{2}\right)}, soit \mathrm{H}(t)=4 \sin \left(2 t-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{3}{2} t^{2}.

Pour s'entraîner : exercices

36

et

37 p. 271