Enseignement scientifique 1re

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Thème 1 : Une longue histoire de la matière
Ch. 1
Les éléments chimiques
Ch. 3
Une structure complexe : la cellule
Thème 2 : Le Soleil, notre source d'énergie
Ch. 4
Le rayonnement solaire
Ch. 5
Le bilan radiatif terrestre
Ch. 6
Énergie solaire et photosynthèse
Ch. 7
Le bilan thermique du corps humain
Thème 3 : La Terre, un astre singulier
Ch. 8
La forme de la Terre
Ch. 9
L'histoire de l’âge de la Terre
Ch. 10
La Terre dans l’Univers
Thème 4 : Son et musique, porteurs d'information
Ch. 11
Le son, phénomène vibratoire
Ch. 12
Musique et nombres
Ch. 13
Le son, une information à coder
Ch. 14
Entendre la musique
Projet Experimental et Numérique
Livret Maths
Annexes
Chapitre 2
Activité 1 - documentaire

Des réseaux cristallins singuliers

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Introduction
Les structures cristallines sont présentes autour de nous : dans la neige, dans le sucre ou dans les sels comme le chlorure de sodium mais aussi dans de nombreuses roches. Certaines de ces structures sont parfois rares et précieuses !
Ces cristaux, ou solides cristallins, ont-ils des organisations toutes identiques à l'échelle microscopique ?
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Documents

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Doc. 1
L'Atomium

Placeholder pour l'Atomiuml'Atomium
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Monument de la ville de Bruxelles (Belgique) construit pour l'Exposition universelle de 1958, représentant la maille conventionnelle du cristal de fer agrandie 165 milliards de fois.
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Doc. 2
La structure cubique simple

La structure cubique simple
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La structure cubique simple est la structure cristalline la plus simple. Dans cette structure, les atomes sont situés aux 8 sommets d'un cube. On parle aussi de maille.

Dans le modèle de la maille cristalline, les atomes sont modélisés par des sphères dures (c'est-à-dire des sphères indéformables) de rayon R et situées les unes au contact des autres.

Pour le comptage des atomes par maille : chaque atome au sommet du cube ne compte que pour \dfrac{1}{8} car il est partagé entre 8 cubes adjacents (ou mailles).
Bien que les atomes soient tangents, on les représente espacés par commodité de lecture.
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Doc. 3
Éléments de géométrie de la structure cubique simple

Éléments de géométrie de la structure cubique centrée
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Éléments de géométrie de la structure cubique centrée
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La compacité correspond à la proportion d'espace occupé par les atomes dans le cube. Elle s'exprime sous la forme :
c = \dfrac{\text{volume occupé par les atomes}}{\text{volume du cube}}
On appelle a l'arête du cube.
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Supplément numérique

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Doc. 4
L'empilement compact

L'empilement compact
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Trois plans (A, B et C) forment un empilement compact.

L'empilement compact est la manière d'agencer des sphères dans l'espace afin d'avoir la plus grande densité de sphères, sans que celles-ci se recouvrent.
Avec trois sphères de même diamètre en contact sur un plan compact (noté plan A), on peut placer une quatrième sphère, toujours du même diamètre, dans le creux entre les trois premières, les centres des sphères formant un tétraèdre régulier. En positionnant ainsi des sphères dans les creux du plan compact A, on obtient un deuxième plan compact (plan B). En 1611, Johannes Kepler conjectura que c'était l'arrangement spatial le plus compact (conjecture de Kepler), ce qui fut prouvé par Thomas Hales en 1998.
Lorsque l'on ajoute un troisième plan compact noté C, on dessine alors un réseau cristallin de type cubique à faces centrées ; cet empilement compact a une compacité égale à 0,74.
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Doc. 5
La maille de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC)

La maille de la structure cristalline cubique à faces centr�ées (CFC)
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La maille de la structure cristalline cubique à faces centrées (CFC)
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La représentation d'une maille de cette structure et du plan de compacité permet de déterminer la relation entre a et R et de calculer la compacité de la maille.

Pour le comptage des atomes par maille : les règles sont les mêmes que pour la structure cubique simple, et les atomes situés au centre des faces comptent pour \dfrac{1}{2}.
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Supplément numérique

Il existe une troisième structure cubique : la structure cubique centrée.

Pour construire
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Instant maths

Retrouvez des rappels de cours et des exercices d'application sur le théorème de Pythagore et les volumes de sphères
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Vocabulaire

Solide cristallin, solide amorphe : on distingue les solides cristallins constitués d'une répétition quasi parfaite de l'arrangement des atomes dans les 3 directions de l'espace et les solides amorphes correspondant à un état liquide figé et pour lesquels l'ordre à longue distance n'existe pas.

Maille (en cristallographie) : unité de répétition par translation. En se répétant indéfiniment par translation dans les trois dimensions de l'espace, elle définit le réseau cristallin.
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Questions

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Structure cristalline cubique simple


1. Dénombrez le nombre d'atomes par maille dans une structure cristalline cubique simple en respectant les règles de comptage.

2. Établissez la relation mathématique liant a et R.

3. Synthèse Calculez la compacité de la structure cubique simple. On considère qu'une structure cristalline est compacte lorsque sa compacité est égale à 0,74. Concluez.


Structure cristalline cubique à faces centrées

4. Dénombrez le nombre d'atomes d'or par maille dans une structure cristalline cubique face centrée.

5. Établissez la relation mathématique liant a et R.

6. Calculez la compacité de la structure cubique à faces centrées. Conclure.

7. Synthèse À l'aide de la masse volumique de l'or et de sa masse atomique moyenne (\rho = 19\text{,}3 kg·L-1 ; m = 3\text{,}27 \times 10^{-22} g), proposez une stratégie pour déterminer la valeur de a puis le rayon atomique de l'or.
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