Calcul numérique

a un nombre réel positif. La racine carré de a est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à a . Pour tout a \geqslant 0 , (\sqrt{a})^2 = a.

La racine carrée de a s'écrit \sqrt{a}.

• \sqrt{0} = 0
• \sqrt{1} = 1

Soient a et b deux nombres réels positifs. On a alors :
1. \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
2. Si b \ne 0, \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
3. Si a et b sont strictements positifs, alors \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.

1. On considère a et b des nombres réels positifs. On en déduit que ab \geqslant 0 donc (\sqrt{a b})^{2}=a b. De plus, (\sqrt{a} \sqrt{b})^{2}=\sqrt{a}^{2} \sqrt{b}^{2}=a b. Ainsi, \sqrt{ab} et \sqrt{a} \sqrt{b} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
2. Avec b \ne 0, on a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc \left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^{2}=\dfrac{a}{b}. De plus, \left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{a}^{2}}{\sqrt{b}^{2}}=\dfrac{a}{b}.
Par conséquent, \sqrt{\dfrac{a}{b}} et \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
3. Considérons le triangle rectangle \text{ABC} suivant.

D'après le théorème de Pythagore, \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}}=\sqrt{a+b}.
Les points ne sont pas alignés. L'inégalité triangulaire nous donne par ailleurs \text{BC} \lt \text{AB} + \text{AC} .
On a alors : \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.

Pour tout nombre réel a , on a \sqrt{a^{2}}=\left|a\right|.

Pour tout a \geqslant 0, \sqrt{a^{2}}=\sqrt{a \times a}=\sqrt{a} \times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^{2}=a=\left|a\right|. Pour tout a \lt 0, a^{2}=(-a)^{2}. On a donc -a > 0 et \sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-a)^{2}}=-a=\left|a\right|.

34

[Calculer.]
Effectuer les calculs suivants. 1. \sqrt{4}

2. \sqrt{(-6)^{2}}

3. \sqrt{11}^{2}

4. \sqrt{5^{4}}

35

[Calculer.]
Déterminer les valeurs exactes des nombres suivants. 1. \sqrt{7^{2}+3^{2}}

2. \sqrt{169 \times 144}

3. \sqrt{169}-\sqrt{144}

4. \sqrt{169-144}

36

[Raisonner.]
Sans utiliser la calculatrice, déterminer, si elle existe, la racine carrée des nombres suivants. 1. 256

2. -16

3. \sqrt{256}

4. (-2)^2

37

[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 . 1. \sqrt{7} \times \sqrt{6}

2. \sqrt{15} \div \sqrt{5}

3. \sqrt{16}+\sqrt{9}

4. 4 \sqrt{3}

38

[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 . 1. 2 \sqrt{3}

2. 3 \sqrt{2}

3. 5 \sqrt{7}

4. 6 \sqrt{2}

39

[Calculer.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b} où a et b sont des nombres entiers strictement positifs, b étant le plus petit possible. 1. \sqrt{50}

2. \sqrt{200}

3. \sqrt{147}

4. \sqrt{54}

41

[Chercher.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b} où b est un entier naturel non nul le plus petit possible. 1. \sqrt{80}+5 \sqrt{45}

2. 2 \sqrt{72}-3 \sqrt{50}

42

[Chercher.] On considère un triangle \text{ABC} dont les côtés mesurent : \text{AB} = 4\sqrt{3}, \text{BC} = 2\sqrt{12} et \text{CA} = 4\sqrt{6} . Quelle est la nature de ce triangle ?

43

[Calculer.]
On considère un champ carré dont la diagonale mesure 7 dam.
1. Quelle est la longueur exacte de son côté ?

2. Quelle est son aire ?

44

[Calculer.]
Calculer pour x=\sqrt{3} et y=\sqrt{2}. 1. x^{4}-y

2. 2 x^{2}+2 x+3

3. (x+2)(x-3)

4. x^{3} \times y^{3}

45

[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. \dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{15}

2. \dfrac{13}{30}-\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{3}

3. \dfrac{-2}{9}-\dfrac{-8}{15}

4. \dfrac{2}{11}+2

46

[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. \dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{2}

2. \dfrac{7}{4} \div 2-\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{-3}

3. \dfrac{7}{12} \div\left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}\right)

4. \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}-\dfrac{-5}{6}

47

[Calculer.]
Sans utiliser de calculatrice, déterminer la forme simplifiée des nombres suivants. 1. \dfrac{2}{3}\left(2+\dfrac{3}{4}\right)

2. \dfrac{2}{3} \times 2+\dfrac{3}{4}

3. \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}

4. \dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{4} \div \dfrac{1}{5}

48

[Chercher.]
On considère les fractions suivantes : \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{28} ; \dfrac{21}{14} ; \dfrac{15}{20} ; -\dfrac{7}{28}. 1. Deux d'entre elles ont pour somme 1, lesquelles ?

2. Deux d'entre elles sont inverses, lesquelles ?

3. Laquelle de ces fractions est la plus petite ?

49

[Chercher.]
Déterminer l'écriture simplifiée de l'expression : 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}.

50

[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel n non nul,\dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1-n}{1+n}.

51

[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel n \ne 0,\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

52

[Calculer.] Soient a , b , c et d quatre nombres réels non nuls tels que ad + bc \neq 0. Montrer que \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right) \times \dfrac{b d}{a d+b c}=1.

53

Vrai / Faux

[Calculer.]
Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse. 1. 2^{-3} \leqslant 0

2. (-2)^{-3} \leqslant 0

3. (-3)^{-2} \leqslant 0

4. -2^{2} \leqslant 0

54

[Calculer.] Lesquelles de ces expressions sont égales ? Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice. 1. 2^{100}

2. \dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

3. 100^{2}

4. 5^{4} \times 2^{4}

5. \left(2^{20}\right)^{5}

6. 200^{2}

7. 50^{4}

8. (-2)^{99} \times 2

9. 10\, 000

55

[Calculer.]
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice. 1. 1+3^{2}

2. 2 \times 5^{3}

3. (2 \times 5)^{3}

4. 2^{-1}+5^{-2}

56

[Calculer.]
Écrire les nombres suivants en notation scientifique. 1. 232

2. 75{,}7

3. 0{,}958

4. 100\,000

57

[Modéliser.] La vitesse de la lumière dans le vide est de 3 \times 10^8 m·s^–1. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année de 365 jours ? Donner l'écriture scientifique du résultat.

59

[Modéliser.] Une molécule d'hydrogène pèse 1{,}008 unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente 1{,}660\,538\,922 \times 10^{-27} kg. Dans un litre d'hydrogène, il y a 5{,}38 \times 10^{22} molécules. Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène ?

58

[Modéliser.] L'énergie cinétique d'un objet de masse m (en kg) et de vitesse v (en m·s^–1) est \mathrm{E}_{c}=\dfrac{1}{2} m v^{2}.
Quelle est la vitesse d'un objet de masse 75 kg et dont l'énergie cinétique est de 2 400 J (J = Joule) ?