pour le cours sur les fractions et les puissances.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Définition
a un nombre réel positif. La racine carré de a est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à a .
Pour tout a \geqslant 0 , (\sqrt{a})^2 = a.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Notation
La racine carrée de a s'écrit \sqrt{a}.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Remarque
\sqrt{0} = 0
\sqrt{1} = 1
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Propriétés
Soient a et b deux nombres réels positifs. On a alors :
1.\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b} 2. Si b \ne 0, \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}. 3. Si a et b sont strictements positifs, alors \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
1. On considère a et b des nombres réels positifs. On en déduit que ab \geqslant 0 donc (\sqrt{a b})^{2}=a b.
De plus, (\sqrt{a} \sqrt{b})^{2}=\sqrt{a}^{2} \sqrt{b}^{2}=a b.
Ainsi, \sqrt{ab} et \sqrt{a} \sqrt{b} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux. 2. Avec b \ne 0, on a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc \left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^{2}=\dfrac{a}{b}. De plus, \left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{a}^{2}}{\sqrt{b}^{2}}=\dfrac{a}{b}.
Par conséquent, \sqrt{\dfrac{a}{b}} et \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
3. Considérons le triangle rectangle \text{ABC} suivant.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
D'après le théorème de Pythagore, \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}}=\sqrt{a+b}.
Les points ne sont pas alignés. L'inégalité triangulaire nous donne par ailleurs \text{BC} \lt \text{AB} + \text{AC} .
On a alors : \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Démonstrations au programme
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023
Pour tous a et b réels positifs, on a \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}
Genially
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023
Si a > 0 et b > 0, alors \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}
Genially
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et \sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7. On a bien 5 \lt 7
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Propriété
Pour tout nombre réel a , on a \sqrt{a^{2}}=\left|a\right|.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration
Pour tout a \geqslant 0, \sqrt{a^{2}}=\sqrt{a \times a}=\sqrt{a} \times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^{2}=a=\left|a\right|.
Pour tout a \lt 0, a^{2}=(-a)^{2}. On a donc -a > 0 et \sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-a)^{2}}=-a=\left|a\right|.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Exercices
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
1
Racines carrées
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
34
[Calculer.]
Effectuer les calculs suivants.
1.\sqrt{4}
2.\sqrt{(-6)^{2}}
3.\sqrt{11}^{2}
4.\sqrt{5^{4}}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
35
[Calculer.]
Déterminer les valeurs exactes des nombres suivants.
1.\sqrt{7^{2}+3^{2}}
2.\sqrt{169 \times 144}
3.\sqrt{169}-\sqrt{144}
4.\sqrt{169-144}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
36
[Raisonner.]
Sans utiliser la calculatrice, déterminer, si elle existe, la racine carrée des nombres suivants.
1.256
2.-16
3.\sqrt{256}
4.(-2)^2
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
37
[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 .1.\sqrt{7} \times \sqrt{6}
2.\sqrt{15} \div \sqrt{5}
3.\sqrt{16}+\sqrt{9}
4.4 \sqrt{3}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
38
[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 .1.2 \sqrt{3}
2.3 \sqrt{2}
3.5 \sqrt{7}
4.6 \sqrt{2}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
39
[Calculer.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b} où a et b sont des nombres entiers strictement positifs, b étant le plus petit possible.
1.\sqrt{50}
2.\sqrt{200}
3.\sqrt{147}
4.\sqrt{54}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
40
[Chercher.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b} où a et b avec la valeur de b donnée.
1.\sqrt{50}+\sqrt{8}+\sqrt{18} avec b=2.
2.\sqrt{75}+\sqrt{48}+\sqrt{12} avec b=3.
3.\sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{300} avec b=3.
4.\sqrt{175}+\sqrt{63}+\sqrt{28} en déterminant b.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
41
[Chercher.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b} où b est un entier naturel non nul le plus petit possible.
1.\sqrt{80}+5 \sqrt{45}
2.2 \sqrt{72}-3 \sqrt{50}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
42
[Chercher.]
On considère un triangle \text{ABC} dont les côtés mesurent : \text{AB} = 4\sqrt{3},\text{BC} = 2\sqrt{12} et \text{CA} = 4\sqrt{6} .
Quelle est la nature de ce triangle ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
43
[Calculer.]
On considère un champ carré dont la diagonale mesure 7 dam.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1.
Quelle est la longueur exacte de son côté ?
2.
Quelle est son aire ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
44
[Calculer.]
Calculer pour x=\sqrt{3} et y=\sqrt{2}.1.x^{4}-y
2.2 x^{2}+2 x+3
3.(x+2)(x-3)
4.x^{3} \times y^{3}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
2
Fractions
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
45
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée.
1.\dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{15}
2.\dfrac{13}{30}-\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{3}
3.\dfrac{-2}{9}-\dfrac{-8}{15}
4.\dfrac{2}{11}+2
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
46
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée.
1.\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{2}
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
48
[Chercher.]
On considère les fractions suivantes : \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{28} ; \dfrac{21}{14} ; \dfrac{15}{20} ; -\dfrac{7}{28}.1.
Deux d'entre elles ont pour somme 1, lesquelles ?
2.
Deux d'entre elles sont inverses, lesquelles ?
3.
Laquelle de ces fractions est la plus petite ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
49
[Chercher.]
Déterminer l'écriture simplifiée de l'expression : 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
50
[Calculer.]
Montrer que pour tout entier naturel n non nul,\dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1-n}{1+n}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
51
[Calculer.]
Montrer que pour tout entier naturel n \ne 0,\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
52
[Calculer.]
Soient a , b , c et d quatre nombres réels non nuls tels que ad + bc \neq 0.
Montrer que \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right) \times \dfrac{b d}{a d+b c}=1.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
3
Puissances
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
53
Vrai / Faux
[Calculer.]
Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse.
1.2^{-3} \leqslant 0
2.(-2)^{-3} \leqslant 0
3.(-3)^{-2} \leqslant 0
4.-2^{2} \leqslant 0
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
54
[Calculer.]
Lesquelles de ces expressions sont égales ? Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice.
1.2^{100}
2.\dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}
3.100^{2}
4.5^{4} \times 2^{4}
5.\left(2^{20}\right)^{5}
6.200^{2}
7.50^{4}
8.(-2)^{99} \times 2
9.10\, 000
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
55
[Calculer.]
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice.
1.1+3^{2}
2.2 \times 5^{3}
3.(2 \times 5)^{3}
4.2^{-1}+5^{-2}
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
56
[Calculer.]
Écrire les nombres suivants en notation scientifique.
1.232
2.75{,}7
3.0{,}958
4.100\,000
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
57
[Modéliser.]
La vitesse de la lumière dans le vide est de 3 \times 10^8 m·s–1. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année de 365 jours ? Donner l'écriture scientifique du résultat.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
59
[Modéliser.]
Une molécule d'hydrogène pèse 1{,}008 unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente 1{,}660\,538\,922 \times 10^{-27} kg. Dans un litre d'hydrogène, il y a 5{,}38 \times 10^{22} molécules.
Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
58
[Modéliser.]
Le zoom est accessible dans la version Premium.
L'énergie cinétique d'un objet de masse m (en kg) et de vitesse v (en m·s–1) est \mathrm{E}_{c}=\dfrac{1}{2} m v^{2}.
Quelle est la vitesse d'un objet de masse 75 kg et dont l'énergie cinétique est de 2 400 J (J = Joule) ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
60
Algo
[Modéliser.]
Une puissance d'un nombre positif a est un nombre qui s'écrit sous la forme a^n avec n \in \N . Par exemple, les premières puissances de 2 sont : 2^0 = 1 ; 2^1 = 2 ; 2^2 = 4 , etc.
1. a.
Quelle est la cinquième puissance de 2 ?
b.
Déterminer la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à 100.
c.
Déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 1\,000.
2.
Répondre aux trois questions précédentes avec les puissances de 3.
3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à 10\,000.
\boxed{
\begin{array} { l } n \leftarrow 0 \\
\text{Tant que } 2^n \lt 10\, 000 \text {, faire :}\\
\quad n \leftarrow n+1 \\
\text {Fin Tant que}
\end{array}
}
Quelle sera la dernière valeur de n calculée par l'algorithme ?
4.
Modifier l'algorithme précédent pour obtenir la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 50\,000.
Afficher la correction
Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
Oups, une coquille
j'ai une idée !
Nous préparons votre pageNous vous offrons 5 essais
Yolène
Émilie
Jean-Paul
Fatima
Sarah
Utilisation des cookies
Lors de votre navigation sur ce site, des cookies nécessaires au bon fonctionnement et exemptés de consentement sont déposés.