Mathématiques 2de

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Fonctions
Ch. 1
Généralités sur les fonctions
Ch. 2
Variations de fonctions
Ch. 3
Fonctions affines
Ch. 4
Fonctions de référence
Géométrie
Ch. 5
Repérage et configuration dans le plan
Ch. 6
Notion de vecteur
Ch. 7
Colinéarité de vecteurs
Ch. 8
Équations de droites
Statistiques et probabilités
Ch. 9
Informations chiffrées
Ch. 10
Statistiques descriptives
Ch. 11
Probabilités et échantillonnage
Annexes
Exercices transversaux
Cahier d'algorithmique et de programmation
Rappels de collège
Jeux de société
Chapitre 0
Cours et exercices

Calcul numérique

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Cours

Voir les pour le cours sur les fractions et les puissances.
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Définition
a un nombre réel positif. La racine carré de a est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à a . Pour tout a \geqslant 0 , (\sqrt{a})^2 = a.
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Notation

La racine carrée de a s'écrit \sqrt{a}.
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Remarque

  • \sqrt{0} = 0
  • \sqrt{1} = 1
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Propriétés
Soient a et b deux nombres réels positifs. On a alors :
1. \sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}
2. Si b \ne 0, \sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
3. Si a et b sont strictements positifs, alors \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.
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Démonstration
1. On considère a et b des nombres réels positifs. On en déduit que ab \geqslant 0 donc (\sqrt{a b})^{2}=a b. De plus, (\sqrt{a} \sqrt{b})^{2}=\sqrt{a}^{2} \sqrt{b}^{2}=a b. Ainsi, \sqrt{ab} et \sqrt{a} \sqrt{b} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
2. Avec b \ne 0, on a \dfrac{a}{b} \geqslant 0 donc \left(\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^{2}=\dfrac{a}{b}. De plus, \left(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^{2}=\dfrac{\sqrt{a}^{2}}{\sqrt{b}^{2}}=\dfrac{a}{b}.
Par conséquent, \sqrt{\dfrac{a}{b}} et \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} sont deux nombres positifs qui ont le même carré : ils sont donc égaux.
3. Considérons le triangle rectangle \text{ABC} suivant.
Calcul numérique
Le zoom est accessible dans la version Premium.

D'après le théorème de Pythagore, \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AC}^{2}}=\sqrt{\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}}=\sqrt{a+b}.
Les points ne sont pas alignés. L'inégalité triangulaire nous donne par ailleurs \text{BC} \lt \text{AB} + \text{AC} .
On a alors : \sqrt{a+b}\lt \sqrt{a}+\sqrt{b}.
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Démonstrations au programme


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EXCLU. PREMIUM 2023

Pour tous a et b réels positifs, on a \sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}

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EXCLU. PREMIUM 2023

Si a > 0 et b > 0, alors \sqrt{a+b} < \sqrt{a} + \sqrt{b}

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Exemples
  • \sqrt{28}=\sqrt{4 \times 7}=\sqrt{4} \times \sqrt{7}=2 \sqrt{7}
  • \sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5 et \sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7. On a bien 5 \lt 7
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Propriété
Pour tout nombre réel a , on a \sqrt{a^{2}}=\left|a\right|.
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Démonstration
Pour tout a \geqslant 0, \sqrt{a^{2}}=\sqrt{a \times a}=\sqrt{a} \times \sqrt{a}=(\sqrt{a})^{2}=a=\left|a\right|. Pour tout a \lt 0, a^{2}=(-a)^{2}. On a donc -a > 0 et \sqrt{a^{2}}=\sqrt{(-a)^{2}}=-a=\left|a\right|.
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Exercices

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1
Racines carrées

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34
[Calculer.]
Effectuer les calculs suivants. 1. \sqrt{4}

2. \sqrt{(-6)^{2}}

3. \sqrt{11}^{2}

4. \sqrt{5^{4}}

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35
[Calculer.]
Déterminer les valeurs exactes des nombres suivants. 1. \sqrt{7^{2}+3^{2}}

2. \sqrt{169 \times 144}

3. \sqrt{169}-\sqrt{144}

4. \sqrt{169-144}
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36
[Raisonner.]
Sans utiliser la calculatrice, déterminer, si elle existe, la racine carrée des nombres suivants. 1. 256

2. -16

3. \sqrt{256}

4. (-2)^2
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37
[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 . 1. \sqrt{7} \times \sqrt{6}

2. \sqrt{15} \div \sqrt{5}

3. \sqrt{16}+\sqrt{9}

4. 4 \sqrt{3}
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38
[Calculer.]
Écrire sous la forme \sqrt{a} avec a > 0 . 1. 2 \sqrt{3}

2. 3 \sqrt{2}

3. 5 \sqrt{7}

4. 6 \sqrt{2}
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39
[Calculer.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b}a et b sont des nombres entiers strictement positifs, b étant le plus petit possible. 1. \sqrt{50}

2. \sqrt{200}

3. \sqrt{147}

4. \sqrt{54}
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40
[Chercher.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b}a et b avec la valeur de b donnée.
1. \sqrt{50}+\sqrt{8}+\sqrt{18} avec b=2.

2. \sqrt{75}+\sqrt{48}+\sqrt{12} avec b=3.

3. \sqrt{27}-\sqrt{12}+\sqrt{300} avec b=3.

4. \sqrt{175}+\sqrt{63}+\sqrt{28} en déterminant b.
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41
[Chercher.]
Écrire sous la forme a\sqrt{b}b est un entier naturel non nul le plus petit possible. 1. \sqrt{80}+5 \sqrt{45}

2. 2 \sqrt{72}-3 \sqrt{50}
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42
[Chercher.] On considère un triangle \text{ABC} dont les côtés mesurent : \text{AB} = 4\sqrt{3}, \text{BC} = 2\sqrt{12} et \text{CA} = 4\sqrt{6} . Quelle est la nature de ce triangle ?
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43
[Calculer.]
On considère un champ carré dont la diagonale mesure 7 dam.
Placeholder pour Champ fleursChamp fleurs
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1. Quelle est la longueur exacte de son côté ?

2. Quelle est son aire ?
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44
[Calculer.]
Calculer pour x=\sqrt{3} et y=\sqrt{2}. 1. x^{4}-y

2. 2 x^{2}+2 x+3

3. (x+2)(x-3)

4. x^{3} \times y^{3}

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2
Fractions

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45
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. \dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{15}

2. \dfrac{13}{30}-\dfrac{7}{15}+\dfrac{5}{3}

3. \dfrac{-2}{9}-\dfrac{-8}{15}

4. \dfrac{2}{11}+2

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46
[Calculer.]
Sans calculatrice, écrire les expressions suivantes sous forme simplifiée. 1. \dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{6} \times \dfrac{1}{2}

2. \dfrac{7}{4} \div 2-\dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{-3}

3. \dfrac{7}{12} \div\left(\dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{2}\right)

4. \left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}-\dfrac{-5}{6}

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47
[Calculer.]
Sans utiliser de calculatrice, déterminer la forme simplifiée des nombres suivants. 1. \dfrac{2}{3}\left(2+\dfrac{3}{4}\right)

2. \dfrac{2}{3} \times 2+\dfrac{3}{4}

3. \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{6}

4. \dfrac{1}{2} \div \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{4} \div \dfrac{1}{5}

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48
[Chercher.]
On considère les fractions suivantes : \dfrac{2}{3} ; \dfrac{7}{28} ; \dfrac{21}{14} ; \dfrac{15}{20} ; -\dfrac{7}{28}. 1. Deux d'entre elles ont pour somme 1, lesquelles ?

2. Deux d'entre elles sont inverses, lesquelles ?

3. Laquelle de ces fractions est la plus petite ?

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49
[Chercher.]
Déterminer l'écriture simplifiée de l'expression : 1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}.

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50
[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel n non nul,\dfrac{\dfrac{1}{n^{2}}-\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n^{2}}+\dfrac{1}{n}}=\dfrac{1-n}{1+n}.

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51
[Calculer.] Montrer que pour tout entier naturel n \ne 0,\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n}=\dfrac{-1}{n(n+1)}.

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52
[Calculer.] Soient a , b , c et d quatre nombres réels non nuls tels que ad + bc \neq 0. Montrer que \left(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{d}\right) \times \dfrac{b d}{a d+b c}=1.

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3
Puissances

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53
Vrai / Faux
[Calculer.]
Pour chaque affirmation, justifier si elle est vraie ou fausse. 1. 2^{-3} \leqslant 0

2. (-2)^{-3} \leqslant 0

3. (-3)^{-2} \leqslant 0

4. -2^{2} \leqslant 0

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54
[Calculer.] Lesquelles de ces expressions sont égales ? Justifier la réponse sans utiliser la calculatrice. 1. 2^{100}

2. \dfrac{1}{4^{-20}} \times(-2)^{60}

3. 100^{2}

4. 5^{4} \times 2^{4}

5. \left(2^{20}\right)^{5}

6. 200^{2}

7. 50^{4}

8. (-2)^{99} \times 2

9. 10\, 000
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55
[Calculer.]
Effectuer les opérations suivantes sans calculatrice. 1. 1+3^{2}

2. 2 \times 5^{3}

3. (2 \times 5)^{3}

4. 2^{-1}+5^{-2}

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56
[Calculer.]
Écrire les nombres suivants en notation scientifique. 1. 232

2. 75{,}7

3. 0{,}958

4. 100\,000

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57
[Modéliser.] La vitesse de la lumière dans le vide est de 3 \times 10^8 m·s–1. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une année de 365 jours ? Donner l'écriture scientifique du résultat.

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59
[Modéliser.] Une molécule d'hydrogène pèse 1{,}008 unité de masse atomique. Une unité de masse atomique représente 1{,}660\,538\,922 \times 10^{-27} kg. Dans un litre d'hydrogène, il y a 5{,}38 \times 10^{22} molécules. Quelle est la masse d'un litre d'hydrogène ?

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58
[Modéliser.]
Placeholder pour Calcul numériqueCalcul numérique
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L'énergie cinétique d'un objet de masse m (en kg) et de vitesse v (en m·s–1) est \mathrm{E}_{c}=\dfrac{1}{2} m v^{2}.
Quelle est la vitesse d'un objet de masse 75 kg et dont l'énergie cinétique est de 2 400 J (J = Joule) ?

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60
Algo
[Modéliser.]
Une puissance d'un nombre positif a est un nombre qui s'écrit sous la forme a^n avec n \in \N . Par exemple, les premières puissances de 2 sont : 2^0 = 1 ; 2^1 = 2 ; 2^2 = 4 , etc.
1. a. Quelle est la cinquième puissance de 2 ?

b. Déterminer la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à 100.

c. Déterminer la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 1\,000.

2. Répondre aux trois questions précédentes avec les puissances de 3.

3. L'algorithme ci-dessous permet de déterminer la plus petite puissance de 2 supérieure ou égale à 10\,000.

\boxed{ \begin{array} { l } n \leftarrow 0 \\ \text{Tant que } 2^n \lt 10\, 000 \text {, faire :}\\ \quad n \leftarrow n+1 \\ \text {Fin Tant que} \end{array} }

Quelle sera la dernière valeur de n calculée par l'algorithme ?

4. Modifier l'algorithme précédent pour obtenir la plus grande puissance de 2 inférieure ou égale à 50\,000.


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