3
Dans un repère du plan, d et d' sont deux droites d'équations respectives 2x - 3y + 5 = 0 et 5y + 4x - 1 = 0 .

Déterminer les coordonnées du point d'intersection de d et d'.

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4

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions dont voici une expression. 1. f(x)=\dfrac{3 x}{1-\sqrt{x}}

2. g(x)=\sqrt{9 x^{2}-4}

3. h(x)=\dfrac{4 x+8}{5-2 x}

4. i(x)=\dfrac{4 x+8}{\sqrt{5-2 x}}

Préparer la première - Nombres et calculs

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5

Démontrer les égalités suivantes. 1. \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}

2. \dfrac{1}{2-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}

3. \dfrac{1}{\sqrt{7}+1}=\dfrac{\sqrt{7}-1}{6}

4. \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\dfrac{\sqrt{x}}{x} avec x>0

5. \dfrac{1}{\sqrt{x}+5}=\dfrac{\sqrt{x}-5}{x-25} avec x\geqslant 0 et x\ne 25

6. \sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} avec n\in \N

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6
1. Calculer (1+\sqrt{6})^{2}.

2. Calculer (1+\sqrt{6})^{4}.

3. Calculer (1+\sqrt{6})^{6}.

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7
1. a. Développer et réduire l'expression suivante : (3-5 \sqrt{7})^{2}.

b. Résoudre dans \R l'équation : x^{2}=184-30 \sqrt{7}.

2. Résoudre dans \R l'équation : x^{2}=37-20 \sqrt{3}.

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8
Soit n \in \N . Simplifier le plus possible les nombres suivants.1. 3 \times 2^{n}-6 \times 2^{n}

2. 5 \times 5^{n}-5^{n}

3. 2 \times(-1)^{n}-3 \times(-1)^{n}

4. \dfrac{1-3^{n}}{1-3}

5. 5 \times \dfrac{1-0{,}5^{n}}{1-0{,}5}

6. \dfrac{2}{5} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{5}}

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9
On considère un réel x tel que -3 \lt x \leqslant 5 .
Déterminer un encadrement de 5 - 2x .

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10
Résoudre les équations suivantes dans \R .1. (3 x-2)(2-5 x)=0

2. (2 x+6)(x+3)=2

3. (7 x-1)+(3 x-1)=0

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11
x et y sont deux réels non nuls distincts.
Comparer les nombres \mathrm{A}=\dfrac{-2 x y}{x-y} et \mathrm{B}=\dfrac{x-y}{2}.

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12
Déterminer le signe de \dfrac{-5}{(x-2)^{2}} en fonction des valeurs du réel x .

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13
On considère l'équation (\mathrm{E}) : 3 \sqrt{\left|1-x^{2}\right|}-1=0.
À l'aide de tableaux de valeurs obtenus avec une calculatrice, donner : 1. un encadrement des solutions de l'équation (\mathrm{E}) d'amplitude :
a. 1

b. 10^{-2}

2. une valeur approchée à 10^{-3} près de chacune des solutions.

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14
L'objectif de cet exercice est de déterminer l'ensemble des entiers naturels x vérifiant l'équation
(\mathrm{E}) : x(x+5)=36. 1. Donner l'ensemble des diviseurs positifs de 36.

2. En déduire les solutions de (\mathrm{E})

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15
En utilisant la même méthode que dans l'exercice précédent, résoudre dans \N\,: 1. x(x+5)=24

2. x(x+1)=42

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16
On considère un entier naturel n . 1. Démontrer que si n est pair, alors n(n + 1) est pair.

2. Démontrer que si n est impair, alors n(n + 1) est pair.

3. Que peut-on conclure sur n(n + 1) ?

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17
Démontrer les propositions suivantes. 1. Le carré d'un nombre pair est divisible par 4.

2. Le carré d'un nombre impair est impair.

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18
Soit n \in \N . Démontrer que 3n - 1 divise 6n^2 - 2n .

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19
Soit \N un entier naturel, impair non premier. On suppose que N = a^2 - b^2 où a et b sont deux entiers naturels. 1. Montrer que a et b n'ont pas la même parité.

2. Montrer que N peut s'écrire comme produit de deux entiers naturels p et q .

3. Quelle est la parité de p et de q ?

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20
On considère un entier naturel n non nul. 1. On pose \mathrm{S}_{n}=1+2+3+\dots+(n-2)+(n-1)+n.
a. En remarquant que \mathrm{S}_{n}=n+(n-1)+(n-2)+\ldots+3+2+1 déterminer une expression de 2\mathrm{S}_n en fonction de n .

b. En déduire une expression de \mathrm{S}_n en fonction de n .

c. Calculer 1+2+3+\dots+1\,031.

2. Déduire des questions précédentes que n(n + 1) est un nombre pair pour tout entier naturel n non nul.

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21
Soient q un réel différent de 1 et n \in \N^* . 1. On pose \mathrm{G}_{n}=1+q+q^{2}+\ldots+q^{n}
a. Déterminer une expression simple de (1 -q) \text{G}_n en fonction de q et n .

b. En déduire une expression de \text{G}_n en fonction de q et n .

2. Melvin décide d'acheter une nouvelle console de jeux. Pour cela, il a besoin de 299 €. Ses parents lui donne 5 euros le premier mois et augmentent ensuite son argent de poche de 10 % tous les mois. Cela signifie que, tous les mois, le montant est multiplié par 1{,}1.
En utilisant la question précédente et une calculatrice, déterminer le nombre de mois nécessaires pour que Melvin puisse acheter la console.

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22
1. Justifier que pour tous réels a et b, on a :

a. a^{2}+2 a b=(a+b)^{2}-b^{2}

b. a^{2}-2 a b=(a-b)^{2}-b^{2}

2. Pour tout réel x , écrire les expressions suivantes sous la forme a(x-\alpha)^{2}+\beta, où a , \alpha et \beta sont des réels tels que a \ne 0 .

a. x^{2}+2 x-5

b. x^{2}-3 x+2

c. x^{2}+7 x

d. 5 x^{2}-15 x+10

e. 2 x^{2}+6 x+8

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23
Résoudre les équations suivantes dans \R . On pourra, si besoin, utiliser la technique de l'exercice précédent.1. x^{2}+2 x+1=0

2. x^{2}+2 x-5=0

3. x^{2}+7 x+3=3

4. 3 x^{2}+18 x-6=0

5. -2 x^{2}-8 x=10

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