Soient a et b deux nombres positifs. On considère le carré suivant. L'aire du carré \text{ABDC} est (a+b)^{2}. Elle peut aussi se calculer comme la somme des aires des carrés \text{AIHL} et \text{HJDK} et des aires des rectangles \text{BKHL} et \text{HJCI}, c'est-à-dire a^{2}+a b+a b+b^{2}. On peut alors écrire : (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}.

1. (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}
a. (x+3)^{2}

b. (2 x+8)^{2}

c. (4+3 x)^{2}

d. \left(\dfrac{1}{3}+y\right)^{2}, y \in \mathbb{R}

2. (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}
a. (x-9)^{2}

b. (3 x-4)^{2}

c. (2-5 x)^{2}

d. (2-5 y)^{2}, y \in \mathbb{R}

3. (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}
a. (x+14)(x-14)

b. (7x+9)(9-7x)

c. \left(\dfrac{2}{3}+\dfrac{x}{4}\right)\left(\dfrac{2}{3}-\dfrac{x}{4}\right)

d. \left(z+\dfrac{7}{4}\right)\left(z-\dfrac{35}{20}\right), z \in \mathbb{R}

1. a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}
a. x^{2}+10 x+25

b. 9 x^{2}+6 x+1

c. 2 y+1+y^{2}, y \in \mathbb{R}

d. 4 x^{2}+20 x+25

2. a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}
a. x^{2}-8 x+16

b. 9 x^{2}-6 x+1

c. z^{2}-z+\dfrac{1}{4}, z \in \mathbb{R}

d. 25+25 x^{2}-50 x

3. a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)
a. a^{2}-144, a \in \mathbb{R}

b. 9 x^{2}-16

c. \dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{4}{9}

d. x^{2}-7

1. x^{2}+14 x+49

2. 9 x^{2}-30 x+25

3. x^{2}-\dfrac{16}{81}

4. 16 x^{2}-4\,900

5. 6{,}25+x^{2}-5 x

6. x^{2}+\sqrt{2} x+\dfrac{1}{2}

1. (x+11)^{2}

2. (3 x-7)^{2}

3. \left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)

4. (5 x-9)(5 x+9)

5. (2 x-1{,}5)^{2}

6. (x+\sqrt{2})^{2}

1. Le carré d'un nombre réel est toujours positif.

2. Pour tout x \in \R , on a : (3 x+7)^{2}-(x-1)^{2}=8 x^{2}+44 x+48.

3. La somme des carrés de deux nombres rationnels est toujours égale au carré de la somme de ces deux nombres.

4. Pour tout réel x différent de -3 et 3, on a : \dfrac{x^{2}+6 x+9}{x^{2}-9}=\dfrac{x+3}{x-3}.

5. Pour tout x \in \R , x^{2}-16 x+64 est toujours positif ou nul.

6. Pour tout x \in \R , x^{2}+6 x+8 est toujours positif ou nul.

1. Montrer que, pour tout a \in \R , (x+a)(x-a)+6 a=x^{2}+6 a-a^{2}.

2. Montrer que l'équation se ramène à 6 x+9=6 a-a^{2}.

3. En déduire que 6 x=-(a-3)^{2}.

4. En déduire x en fonction de a .

Dans un plan, on considère une unité de longueur donnée. Soient les deux figures suivantes : un rectangle dont les côtés mesurent x - 1 et x + 1 et un carré dont le côté mesure x et dans lequel on a enlevé un carré de 1 de côté.

1. À quel plus grand intervalle x peut-il appartenir ?

2. À l'aide d'une calculatrice, calculer l'aire de chacune de ces figures pour différentes valeurs de x .

3. Que peut-on conjecturer ?

4. Montrer que, pour tout x \gt 1 , ces deux figures ont la même aire.

1. x(x-2)+(x-1) x

2. 2 x(x+y)+4 x\left(y^{2}+1\right)

3. (7-m)(m+1)-(7-m)(3 m-1)

4. (2 x+3)^{2}-(2 x+3)(x-5)

5. (7 y+3)^{2}-25

1. Montrer que, pour tout x \in \mathbb{R}, (x+2)(a x+b)=a x^{2}+(2 a+b) x+2 b.

2. En déduire que a= 1 ; 2 a+b=5 et 2 b=6.

3. En déduire a et b .

4. En utilisant une méthode similaire, trouver a , b et c tels que, pour tout x \in \R, x^{3}-4 x^{2}+5 x-2=(x-1)\left(a x^{2}+b x+c\right).

1. (x+11)^{2}+(x-11)^{2}

2. ((7-3 k)(7+3 k))^{2}

3. \left(x-\dfrac{2}{3}\right)\left(x+\dfrac{2}{3}\right)\left(x^{2}+\dfrac{4}{9}\right)

4. (18-10 a)(9+5 a)

1. a. Déterminer le nombre de solides.

b. Déterminer le volume d'un solide en fonction de a et b .

2. Montrer que (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}.

3. Cette égalité est-elle démontrée pour tous réels a et b ?

1. Pour tout nombre réel x, développer et réduire \mathrm{B}(x).

2. Pour tout nombre réel x, factoriser \mathrm{B}(x) à l'aide d'un facteur commun.

3. En déduire la résolution dans \R de 20 x^{2}+17 x-10=0.