Soient a et b deux nombres entiers relatifs. a est un diviseur de b lorsqu'il existe k \in \Z tel que b = k \times a .
On peut alors dire que : b est un multiple de a ; a divise b ; b est divisible par a .

3 est un diviseur de 36 car 36 = 3 \times 12 .

Soit a \in \Z. a est un nombre :

• pair lorsqu'il existe k \in \Z tel que a = 2 \times k ;
• impair lorsqu'il existe k \in \Z tel que a = 2 \times k + 1 .

Un nombre pair est un nombre qui est divisible par 2 .

• 17=8 \times 2+1 est un nombre impair.
• 38=2 \times 19 est un nombre pair.

Un nombre impair est un nombre qui n'est pas pair.

Soit a \in \Z . L'entier relatif a^2 est impair si, et seulement si, a est impair.

On a aussi : l'entier relatif a^2 est pair si, et seulement si, a est pair.

Soit a un nombre impair. Il existe k \in \Z tel que a = 2k + 1 . On a alors :
(2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1 .
Posons k' = 2k^2 + 2k. k' \in \Z donc a^2 = 2k' + 1 et, par définition, a^2 est impair. On démontre de même que si a est un entier pair alors a^2 est pair.
Par contraposée, si a^2 est impair alors a est impair. L'équivalence est bien démontrée.

Soit a \in \Z et soient b et b' deux multiples de a . Il existe deux entiers relatifs k et k' tels que b = k \times a et b' = k' \times a .
Donc b + b' = k \times a + k' \times a = (k + k')a . k + k' \in \Z donc b + b' est un multiple de a .

Un entier naturel non nul est dit premier lorsqu'il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

2 ; 3 ; 5 et 7 sont des nombres premiers. 1 n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur.

114

[Calculer.]
On considère les nombres a = 35 et b = 25 .
1. Donner un multiple de a et un multiple de b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b , c'est un multiple commun à a et à b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b , quel est le plus petit ?

115

[Calculer.]
On considère les nombres a = 24 et b = 18 .
1. Donner un multiple de a et un multiple de b .

2. Donner un nombre qui est multiple simultanément de a et b .

3. Parmi tous les nombres strictement positifs qui sont multiples simultanément de a et b , quel est le plus petit ?

116

[Calculer.]
Dans chaque cas, donner tous les diviseurs de chacun des deux nombres, puis déterminer les diviseurs communs. Parmi ceux-là, déduire le plus grand diviseur commun aux deux nombres. 1. 15 et 35

2. 60 et 40

3. 45 et 64

4. 270 et 180

117

[Calculer.]
Dans chaque cas, chercher le plus grand diviseur commun au numérateur et au dénominateur, puis mettre la fraction sous forme irréductible. 1. \dfrac{45}{20}

2. \dfrac{63}{42}

3. \dfrac{121}{56}

4. \dfrac{51}{85}

118

[Calculer.]
Trouver tous les diviseurs premiers des nombres suivants. 1. 21

2. 56

3. 256

4. 301

119

[Chercher.]
1. Déterminer la liste de tous les nombres premiers compris entre 1 et 30.

2. Parmi ces nombres, quels sont ceux qui sont pairs ?

3. Existe-t-il d'autres nombres premiers pairs ? Justifier.

120

[Chercher.]
La conjecture de Goldbach affirme que « tout nombre pair supérieur ou égal à 4 est la somme de deux nombres premiers ». 1. Vérifier cette conjecture pour tous les nombres pairs de l'intervalle [10\, ; 20 ]

2. Trouver tous les nombres premiers p et p' tels que 100 = p + p' .

121

[Représenter.]
Soient a et a' deux nombres impairs. Montrer que a^2 + (a')^2 est un nombre pair.

122

Démo

[Raisonner.]
Démontrer la proposition suivante : « Un entier est pair si, et seulement si, son carré est pair. »

123

Démo

[Raisonner.]
Soit a un nombre impair. Démontrer que a^3 est un nombre impair.

125

[Modéliser.]
Une crèche dispose de 60 dalles carrées en mousse. Elle souhaite les placer de manière à former un rectangle. 1. Quelles sont les dimensions possibles de ce rectangle ?

2. Quel est celui qui a le plus grand périmètre ?

124

Vrai / Faux

[Raisonner.]
Déterminer, en justifiant, si chacune des expressions suivantes est vraie ou fausse. 1. Tout nombre entier strictement positif a un nombre pair de diviseurs.

2. Il y a plus de nombres premiers entre 20 et 30 qu'entre 40 et 50.

3. Un diviseur d'un nombre premier est forcément premier.