Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023
Exercice type enrichis
Genially
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
127
[Modéliser.]
La somme des carrés de trois nombres entiers consécutifs est 1\,085. Quels sont ces trois nombres ?
On choisira astucieusement une seule inconnue, et on établira une équation que l'on résoudra.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
128
Démo
[Raisonner.]
On cherche à démontrer que \sqrt{2} n'est pas un nombre rationnel. On raisonne par l'absurde et on suppose que \sqrt{2} peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible \dfrac{a}{b} où a et b sont des entiers naturels non nuls.
1. Montrer que 2b^2 = a^2 .
2. En déduire que a^2 est un nombre pair puis que a est pair.
3. Démontrer alors que b est pair.
4. Relever une contradiction et conclure.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Démonstration au programme
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
EXCLU. PREMIUM 2023
Le nombre racine de 2 est irrationnel
Genially
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
129
[Calculer.]
On considère les deux programmes de calcul suivants.
Programme A
Programme B
Choisir un nombre ;
soustraire 5 ;
multiplier ce résultat par le triple du nombre de départ ;
ajouter 3 au résultat.
Choisir un nombre ;
multiplier ce nombre par 3 ;
ajouter 9 ;
prendre l'opposé du résultat.
On note \mathrm{A}(x) et \mathrm{B}(x) les résultats des programmes \mathrm{A} et \mathrm{B} quand on choisit le nombre réel x .
1. Quel résultat obtient-on avec chaque programme lorsque l'on choisit le nombre 3 ? Et le nombre \dfrac{1}{2} ?
2. Exprimer \mathrm{A}(x) et \mathrm{B}(x) en fonction de x .
3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient chacun des nombres \mathrm{A}(0), \mathrm{B}(0), \mathrm{A}(1), \mathrm{B}(-5)?
4. Résoudre \mathrm{B}(x)=0.
5. À l'aide d'un tableur ou de la calculatrice, résoudre, à 0{,}01 près, \mathrm{A}(x)=0.
6. Montrer que \mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x) est équivalent à 3x^2 - 12x + 12 = 0 .
7. À l'aide d'une identité remarquable, résoudre \mathrm{A}(x) = \mathrm{B}(x). Que peut-on en déduire sur les deux programmes de calculs ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
130
[Calculer.]
On considère l'équation x^{3}-x=0.
1. Montrer que, pour tout x \in \R , x^{3}-x=x\left(x^{2}-1\right).
2. En déduire toutes les solutions de l'équation x^{3}-x=0.
3. Quel est le plus petit ensemble de nombres qui les contient toutes ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
131
[Calculer.]
Soit n un nombre entier naturel non nul.
1. À l'aide d'un tableur, vérifier que, pour toutes les valeurs de n entières comprises entre 1 et 15, la somme des n premiers nombres pairs est égale à n(n + 1) . Dans la suite de l'exercice, on admettra que pour tout n \in \N^* , la somme des n premiers nombres pairs est n(n + 1).
2. Démontrer que, pour tout entier naturel n \ne 0, n^{2}+15 n-814=(n-22)(n+37).
3. Trouver la valeur de n \in \N^* pour laquelle la somme des n nombres pairs supérieurs ou égaux à 16 est égale à 814.
4. Écrire un programme Python qui donne la solution sans résoudre l'équation.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
132
[Représenter.]
On considère l'intervalle [0\, ; 1] . On lui applique l'algorithme suivant :
Couper l'intervalle en 3 parties égales.
Retirer la partie du milieu.
Recommencer les étapes 1 et 2 avec les deux segments restants.
Recommencer les étapes 1 et 2 avec les quatre segments restants.
Le zoom est accessible dans la version Premium.
1. Quelle est la longueur totale des 8 segments restants ?
2.\dfrac{1}{18} appartient-il à l'un des 8 segments restants ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
133
[Chercher.]
On considère l'inéquation \dfrac{n+1}{n+4} \leqslant \dfrac{n+3}{n+7} , dans laquelle n est un nombre réel.
1. Déterminer l'ensemble de définition de cette inéquation.
2. Résoudre cette inéquation dans \N .
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
134
[Chercher.]
Pour tous nombres réels strictement positifs a et b , on note : \mathrm{A}(a\:; b)=\dfrac{a+b}{2} et \mathrm{G}(a\:; b)=\sqrt{a b}. \mathrm{A}(a\:; b) est appelée moyenne arithmétique de a et b . \mathrm{G}(a\:; b) est appelée moyenne géométrique de a et b .
1. Calculer et comparer \mathrm{A}(9 \:; 4) et \mathrm{G}(9\:; 4).
2. Calculer et comparer \mathrm{A}(2\:; 32) et \mathrm{G}(2\:; 32).
3. Conjecturer une inégalité entre \mathrm{A}(a\:; b) et \mathrm{G}(a\:; b).
4. Pour tous réels a et b strictement positifs, développer (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}.
5. En déduire que, pour tous réels a et b strictement positifs, \mathrm{A}(a\:; b) \geqslant \mathrm{G}(a\:; b).
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
135
[Raisonner.]
Pour tous nombres réels a , b et c , on considère l'expression \mathrm{K}=(a+b+c)^{2} et on pose a + b = h .
1. Montrer que \mathrm{K}=h^{2}+2 h c+c^{2}.
2. En conclure que \mathrm{K}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
136
[Calculer.]
Soient a et b deux nombres réels qui ne sont ni égaux, ni opposés. On considère l'expression \mathrm{C}=\dfrac{3}{a-b}. 1. Montrer que \text{C}=\dfrac{3(a+b)}{a^{2}-b^{2}}.
2. En déduire que\dfrac{3}{\sqrt{8}-\sqrt{5}}=\sqrt{8}+\sqrt{5}.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
Club de Maths
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
137
Défi
On considère la figure obtenue à l'aide de l'algorithme de l'exercice
Écrire un programme avec Python permettant de reproduire cette figure.
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
138
Énigme
1. Quel est le plus grand nombre premier inférieur à 10\, 000 ?
2. Combien y a-t-il de nombres premiers inférieurs à 1\,000 ? à 10\,000 ? à 100\,000 ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
139
Approfondissement
On appelle développement décimal d'un nombre réel une façon de l'écrire à l'aide de puissances de 10. Par exemple, le développement décimal du nombre 13{,}675 est : 13,675=1 \times 10^{1}+3 \times 10^{0}+6 \times 10^{-1}+7 \times 10^{-2}+5 \times 10^{-3}.
1. Donner le développement décimal de chacun des nombres suivants : 18{,}3 ; -105{,}42 ; 0{,}003 ; \dfrac{1}{4} et \dfrac{112}{25}.
2. Pourquoi dit-on que les nombres \pi ; \sqrt{2} et \dfrac{10}{7} ont un développement décimal illimité ?
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
140
Approfondissement
Un nombre possède un développement décimal illimité périodique lorsque son développement décimal est illimité et qu'une séquence de nombres se répète.
Par exemple, \dfrac{10}{7}=1{,}428571428571 \ldots La période est 428\,571 et on note alors : \dfrac{10}{7}=1{,} \overline{428571}.
1. Quelle est la période des nombres \dfrac{1}{3} et \dfrac{45}{11} ?
2. On cherche le nombre rationnel x tel que x = 39{,}\overline{27}. a. Comment écrire 100x ?
b. Calculer alors 100x - x et en déduire une écriture fractionnaire de x .
c. Simplifier au maximum cette écriture fractionnaire et vérifier à la calculatrice.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.
141
Casse-tête
Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que p^2 - 1 est un multiple de 24.
Afficher la correction
Ressource affichée de l'autre côté. Faites défiler pour voir la suite.