80

[Calculer.] Résoudre les équations suivantes dans \R .
1. 3 x+7=0

2. 6-x=4

3. 3(x+7)=9

4. x - 8 = 0

81

[Calculer.] Résoudre les équations suivantes dans \R .
1. 3 x+7=x-1

2. 6-x=x+14

3. 3(x+7)=4 x+9

4. 2(x-4)=7 x-2

82

[Calculer.] Résoudre les équations suivantes dans \R .
1. (x+3)(x-7)=0

2. (2 x-3)(x+6)=0

3. x(x+1)=0

4. x^{3}-x=0

83

[Calculer.] On considère l'expression \mathrm{A}(x)=\dfrac{2 x+3}{x+7} définie pour tout x \neq-7.
1. Résoudre \text{A}(x)=0.

2. Résoudre \mathrm{A}(x)=3.

3. Résoudre \mathrm{A}(x)=-2.

84

[Représenter.] Marc pense à trois nombres entiers naturels consécutifs. Leur somme est 147 . Quels sont ces trois nombres ?

86

[Calculer.] Résoudre les inéquations suivantes dans \R.
1. 7 x+3>2 x-5

2. 5 x-3 \leqslant 8 x-6

3. 7(x+1)>5-2 x

4. -5 x+3 \geqslant 2(x-5)

87

[Calculer.] On considère un nombre réel a et l'inéquation ax + 5 \lt 7 dans laquelle l'inconnue est x . Résoudre cette inéquation dans \R en fonction du signe de a .

88

[Représenter.] On considère un triangle \text{ABC} et un nombre réel x . On a \text{AB} = x + 1 , \text{BC} = 4 et \text{CA} = 15 .
1. Montrer que l'on a nécessairement x+1 \leqslant 19 et x+5\geqslant15.

2. Donner le plus grand intervalle de \R auquel appartient x .

89

[Représenter.] On considère un triangle \text{ABC} et un nombre réel x . On suppose que \text{AB} = x + 2, \text{BC} = 2x + 9 et \text{CA} = 3x - 2 . Déterminer le plus grand intervalle de \R auquel appartient x .

90

[Calculer.] Soit m, un nombre réel strictement positif. On considère l'inéquation suivante dans laquelle l'inconnue est le nombre réel x : mx + 2 \geqslant m.
1. Résoudre dans \R cette inéquation en fonction de m.

2. À quel intervalle doit appartenir m pour que 2 soit solution de l'inéquation ?

3. Reprendre les questions précédentes avec m \lt 0 .

91

[Calculer.] Soit x un nombre entier naturel. On considère la fraction \dfrac{7 x+3}{15}. Pour quelles valeurs de x cette fraction est-elle supérieure ou égale à \dfrac{2}{5} ?

92

[Calculer.] Résoudre les équations suivantes dans \R .
1. (x+3)^{2}=x(x-2)

2. \dfrac{2}{5} x+8=\dfrac{1}{3}(x-7)

93

[Calculer.] Soit k un nombre réel. On considère l'équation suivante dans laquelle l'inconnue est le réel x : k^{2} x+7=x-2 k.
1. Résoudre cette équation dans \R en fonction de k .

2. Pour quelles valeurs de k n'existe-t-il pas de solution ?

3. À quel plus petit ensemble de nombres appartient k lorsque 0 est une solution de l'équation ?

94

[Représenter.] On considère un cercle de rayon 2 cm.
1. Quelle est la longueur du côté d'un carré qui a le même périmètre que ce cercle ?

2. Quelle est la longueur du côté d'un triangle équilatéral qui a le même périmètre que ce cercle ?

95

[Calculer.] Soit m un nombre réel. On considère l'équation suivante dans laquelle l'inconnue est le réel x : 5mx + 7 = x +m. Résoudre cette équation dans \R et discuter l'existence d'une solution selon la valeur de m.

96

[Modéliser.] Les dépenses d'un service hospitalier sont de deux types : les charges fixes qui s'élèvent à 1 500 € et les charges variables qui s'élèvent à 300 € par patient.
1. Écrire, en fonction du nombre x de patients, le montant des dépenses du service hospitalier.

2. Le service a dépensé 6 900 €. Combien de patients a-t-il soignés ?

97

[Raisonner.] Hans, Julien et Kelly cherchent à résoudre l'équation suivante : (4 x+2)(3 x-1)-2(2 x-2)(3 x-1)=0 où x est un nombre réel. Philippe leur demande, de surcroît, dans quel ensemble de nombres se trouvent les solutions de cette équation.

• Hans propose de factoriser par 3x - 1 pour obtenir une équation produit nul.
• Julien propose de développer l'équation car les termes en x^2 se simplifient.
• Kelly pense qu'il est impossible de résoudre cette équation car c'est une équation du second degré.

Qui a raison ?

98

En physique

[Modéliser.] L'unité de température en vigueur aux USA est le degré Fahrenheit (°F). Pour effectuer la conversion avec les degrés Celsius, on utilise la formule suivante : \mathrm{T}_{f}=1{,}8\: \mathrm{T}_{\mathrm{c}}+32 où \mathrm{T}_{f} est la température en degré et \mathrm{T}_{\mathrm{c}} en degré Celsius.
1. Convertir en degré Celsius les températures suivantes : -4^{\circ} \mathrm{F}{,}\, 212^{\circ} \mathrm{F}{,}\, -40^{\circ} \mathrm{F}

2. Les deux échelles de températures sont elle proportionnelles ?

3. Donner une expression permettant de faire la conversion contraire.

99

[Représenter.] Si j'augmente de 7 cm la longueur de chaque côté d'un carré, l'aire de ce carré augmente de 74 cm². Quelle est l'aire de ce carré ?

100

[Communiquer.] Après avoir retranché 3 au quadruple d'un nombre, on obtient un nombre strictement positif. De plus, après avoir retranché 4 au triple de ce même nombre, on obtient un nombre strictement négatif.
1. Donner un encadrement de ce nombre.

2. En déduire le seul entier naturel qui convient.

101

[Représenter.] On considère le triangle ci-dessous, dans lequel les côtés dépendent d'un nombre réel x > 1 .



1. Pour quelle valeur de x a-t-on \text{AB} = \text{AC} ? Pour cette valeur de x , quelle est la longueur de chacun des côtés de \text{ABC} ?

2. Déterminer toutes les valeurs de x pour lesquelles le triangle \text{ABC} est isocèle.

3. Peut-on trouver une valeur de x pour laquelle le triangle \text{ABC} est équilatéral ?

102

[Modéliser.] Soit \lambda un nombre réel. \text{A}, \text{B} et \text{C} sont trois points tels que \text{AB} = 20\lambda + 12, \text{BC} = 15(\lambda +1) et \text{AC} = 25\lambda + 19. On considère le point \text{D} tel que \text{ABCD} est un parallélogramme.
1. Faire un schéma et rappeler une condition nécessaire et suffisante pour qu'un parallélogramme soit un rectangle.

2. Déterminer toutes les valeurs de \lambda pour lesquelles \text{ABCD} est un rectangle.

3. Quelle est alors la longueur \text{BD} ?