Résoudre un système linéaire de deux équations à deux inconnues x et y revient à déterminer tous les couples (x\, ; y) qui vérifient les deux équations en même temps.
On cherche à résoudre le système suivant d'inconnue (x\, ; y) : \left\{\begin{array}{l}{2 x+3 y=8} \\ {3 x-2 y=-1}\end{array}\right.

• En multipliant chacune des deux équations par un nombre adéquat, on égalise les coefficients de l'une des inconnues dans chaque équation.
  ❯ \left\{\begin{aligned}(2 x+3 y) \color{red}{\times 3}&= 8 \color{red}{\times 3} \\ (3 x-2 y) \color{blue}{\times 2} &=(-1) \color{blue}{\times 2} \end{aligned} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}{6 x+9 y=24} \\ {6 x-4 y=-2}\end{array}\right.\right.
• On soustrait l'une des deux équations à l'autre. Ainsi, on obtient une équation ne comportant plus qu'une seule inconnue.
  ❯ 6 x+9 y-(6 x-4 y)=24-(-2)
• On résout l'équation ainsi obtenue.
  ❯ 13 y=26 d'où y=2
• On reporte la valeur trouvée dans l'une des deux équations de départ et on résout l'équation ainsi obtenue.
  ❯ Puisque 2 x+3 y=8, alors 2 x=8-3 y=8-6=2 d'où x=1.
• La solution du système est donc le couple (1\, ;2).

• À l'aide de l'une des deux équations, on exprime l'une des deux inconnues en fonction de l'autre.
  ❯ La première équation peut s'écrire x=4-1{,}5 y.
• On remplace, dans la deuxième équation, cette inconnue par l'expression obtenue.
  ❯ 3(4-1{,}5 y)-2 y=-1 c'est à dire 12-6{,}5 y=-1.
• On obtient ainsi une équation, à une seule inconnue, que l'on résout.
  ❯ On obtient y=2.
• On reporte la valeur obtenue à l'étape précédente dans l'une des deux équations. On obtient alors une nouvelle équation à une inconnue, que l'on résout pour obtenir la valeur de la deuxième inconnue.
  ❯ En reportant dans la première équation on obtient 2 x+6=8 d'où x=1.
• La solution du système est donc le couple (1\, ;2).

103

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x\,;y)
\left\{\begin{aligned} x+y &=4 \\ 2 x+3 y &=7 \end{aligned}\right.

104

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x\,;y)
\left\{\begin{array}{l}{5 x+2 y=4} \\ {2 x+3 y=-5}\end{array}\right.

105

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x\,;y)
\left\{\begin{aligned} x-2 y &=4 \\ 2 x+3 y &=-6 \end{aligned}\right.

106

[Calculer.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x\,;y)
\left\{\begin{array}{l}{7 x+2 y=1} \\ {2 x+3 y=5}\end{array}\right.

107

[Raisonner.]
Justifier que le système suivant admet une infinité de solutions :
\left\{\begin{aligned} 2 x-y &=1 \\-6 x+3 y &=-3 \end{aligned}\right.

108

[Modéliser.]
Dans une ferme, il y a des lapins et des poules. On compte 120 têtes et 298 pattes. Combien y a-t-il de lapins et de poules dans la ferme ?

109

[Modéliser.]
Dans le panier de Mme Martin, il y a 5 kg de pommes et 2 kg de carottes. Dans le panier de M. Bernard, il y a 3 kg de pommes et 7 kg de carottes. Mme Martin a payé 18,5 € alors que M. Bernard a payé 28,5 €.
Quel est le prix d'un kg de pommes et d'un kg de carottes ?

110

[Modéliser.]
Max a 10 pièces dans son porte-monnaie. Ce sont uniquement des pièces de 1 € et 2 €. Le montant contenu dans le porte monnaie est de 15 €.
Combien a-t-il de pièces de chaque sorte ?

111

[Représenter.]
Résoudre le système suivant d'inconnue (x\, ; y).
\left\{\begin{array}{r}{x^{2}+y^{2}=25} \\ {2 x^{2}-y^{2}=23}\end{array}\right.